Valuation $p$-adique de $H_{{p-1}}$

Question naïve, mais le titre parle de valuation $p$-adique de toute la somme partielle, tandis qu’on ne s’intéresse qu’au numérateur, et pas à "est-ce que $p$ divise aussi $b$" ? Ne faudrait-il pas directement demander vp(a/b) ? Mais c’est très intéressant en tout cas !

Il me semble que l’énoncé sous-entend que dès que la somme peut s’écrire $a/b$, $p^{2}$ divise $a$, donc en particulier quand $a,b$ sont premiers entre eux...
Après pour le titre, la $p$-valuation d’un rationnel $r=a/b$ peut se définir à partir de celle d’un entier par $v_{p}(r)=v_{p}(a)--v_{p}(b)$ qui ne dépend que de $r$. Bref la question revient en effet à : Mq $v_{p}(H_{p-1})\ge2$.
Veux-tu qu’on corrige l’énoncé en "$a,b$ positifs quelconques" ? ça ne m’avait pas semblé nécessaire, mais si ça clarifie... Ou qu’on ne parle pas de $p$-valuation dans le titre ?
En tout cas merci pour le post !

Je ne suis pas sûr de voir pourquoi dès que $p^{2}$ divise $a$, alors ça implique que $a$ et $b$ sont premiers entre eux. On pourrait mêmer imaginer que la fraction soit $p^{2}/p$ par exemple. Mais si vous dites que la valuation p-adique de $H_{p-1}$ vient uniquement de celle de $a$, on pourrait le laisser comme ça ; c’est juste que je ne suis pas assez familier pour dire si c’est le cas :)

La p-valuation de $H_{p-1}$ ne dépend pas que de $a$ puisque c’est celle de $a$ moins celle de $b$, indépendamment du représentant a/b choisi ;
$H_{4}=25/12=50/24=125/60...$ Quelque soit le représentant choisi, le numérateur est toujours divisible par $5^{2}$.

$p^2$ divise $a$ pour tout choix de $a,b$ (c’est ce qu’il faut prouver) n’implique pas que $(a,b)=1$, mais que même quand (a,b)=1, $p^{2}$ divise $a$.