Valuation $p$-adique d’un produit, d’un quotient et d’une puissance

Question 1

Par le théorème fondamental de l’arithmétique : $n = \prod\limits_{q \text{ premier}} q^{v_{q}(n)}$ et $m = \prod\limits_{q \text{ premier}} q^{v_{q}(m)}$
Par produit : $nm = \prod\limits_{q \text{ premier}} q^{v_{q}(n)} \prod\limits_{q \text{ premier}} q^{v_{q}(m)} = \prod\limits_{q \text{ premier}} q^{v_{q}(n)} q^{v_{q}(m)} = \prod\limits_{q \text{ premier}} q^{v_{q}(n) + v_{q}(m)}$
En conclusion : $v_{p}(nm) = v_{p}(n) + v_{p}(m)$

Question 2

$p^{v_{p}(m)} | m$ par définition de la valuation $p$-adique et $m | n$ par hypothèse
alors par transitivté, $p^{v_{p}(m)}|n$ , autrement dit $v_{p}(m) \in \{i \in \N ; p^{i} | n\}$

De plus, par définition de la valuation $p$-adique : $v_{p}(n) = \max\{i \in \N ; p^{i} | n\}$

On conclut que $v_{p}(m) \leqslant v_{p}(n)$

Ensuite avec les factorisations premières de $m$ et $n$ : $\frac n m = \frac{\prod\limits_{q \text{ premier}} q^{v_{q}(n)}}{\prod\limits_{q \text{ premier}} q^{v_{q}(m)}} = \prod\limits_{q \text{ premier}} q^{v_{q}(n) - v_{q}(m)}$
Par le résultat démontré précédemment, on s’assure que tous les exposants de la factorisation sont positifs. Il s’agit bien d’une décomposition en produit de facteurs premiers.
On en déduit alors que $v_{p}(\frac n m) = v_{q}(n) - v_{q}(m)$

Question 3

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Par le théorème fondamental de l’arithmétique : $n = \prod\limits_{q \text{ premier}} q^{v_{q}(n)}$
En élevant à la puissance $m$ : $n^{m} = \left(\prod\limits_{q \text{ premier}} q^{v_{q}(n)}\right)^{m} = \prod\limits_{q \text{ premier}} (q^{v_{q}(n)})^{m} = \prod\limits_{q \text{ premier}} q^{m v_{q}(n)}$
Conclusion : $v_{p}(n^{m}) = m v_{p}(n)$

Ou bien on peut raisonner à partir de la propriété démontrée à la question 1 :
$v_{p}(n^{m}) = v_{p}\left(\prod\limits_{k=1}^{m}n \right) = \sum\limits_{k=1}^m v_{p}(n) = mv_{p}(n)$
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