$(x,f(x))\text{ lié}$

Soient $x,y\in E\setminus{0}$. Par hypothèse, pour tout $x\in E\setminus{{0}}$, les vecteurs $(x,f(x))$ sont liés. Il existe donc $\lambda_x\in\mathbb{K}$ tel que

$$f(x)=\lambda_x x.$$

De même, il existe $\lambda_y,\lambda_{x+y}\in\mathbb{K}$ tels que

$$f(y)=\lambda_y y \qquad\text{et}\qquad f(x+y)=\lambda_{x+y}(x+y).$$

Cas 1 : $(x,y)$ est libre.

On a

$$\begin{aligned} f(x+y) &=\lambda_{x+y}(x+y)\\ &=\lambda_{x+y}x+\lambda_{x+y}y, \end{aligned}$$

d’une part, et, par linéarité de $f$,

$$\begin{aligned} f(x+y) &=f(x)+f(y)\\ &=\lambda_xx+\lambda_yy, \end{aligned}$$

d’autre part.

Donc, par liberté de $(x,y)$,

$$\lambda_{x+y}=\lambda_x=\lambda_y.$$

Ainsi,

$$\boxed{\lambda_x=\lambda_y}.$$

Cas 2 : $(x,y)$ est lié.

Sans perte de généralité, on suppose qu’il existe $\mu\in\mathbb{K}^*$ tel que

$$y=\mu x.$$

D’une part,

$$f(y)=\lambda_y y=\lambda_y\mu x,$$

et d’autre part, par linéarité de $f$,

$$f(y)=f(\mu x)=\mu f(x)=\mu\lambda_xx.$$

Ainsi,

$$\lambda_y\mu x=\lambda_x\mu x.$$

Comme $\mu\neq0$ et $x\neq0$, on obtient

$$\lambda_y=\lambda_x.$$

Dans tous les cas,

$$\lambda_x=\lambda_y.$$

Ainsi, il existe $\lambda\in\mathbb{K}$ tel que, pour tout $x\in E\setminus{0}$,

$$f(x)=\lambda x.$$

Cette égalité reste vraie pour $x=0$, car

$$f(0)=0=\lambda\cdot0.$$

On a donc

$$\boxed{\forall x\in E,\quad f(x)=\lambda x}.$$

Ainsi, $f$ est une homothétie vectorielle de rapport $\lambda$.