Action de groupe

Définition intuitive

Un groupe $G$ agit sur un ensemble $X$ lorsque chaque élément de $G$ « déplace » les points de $X$ de façon compatible avec la loi du groupe. L’action crée un dialogue dans les deux sens : de $G$ vers $X$, elle découpe $X$ en orbites (classification, dénombrement) ; de $X$ vers $G$, elle fait apparaître des sous-groupes naturels (stabilisateurs, noyau) et des plongements de $G$ dans des groupes de permutations.

Définition formelle

Soient $G$ un groupe d’élément neutre $e$ et $X$ un ensemble non vide. Une action (à gauche) de $G$ sur $X$ est une application
$$G \times X \to X, \qquad (g, x) \mapsto g \cdot x$$vérifiant les deux axiomes :

1. $e \cdot x = x$ pour tout $x \in X$ ;
2. $g \cdot (h \cdot x) = (gh) \cdot x$ pour tous $g, h \in G$ et $x \in X$.

On dit que $G$ opère (ou agit) sur $X$, que $X$ est un $G$-ensemble, et on note $G \curvearrowright X$.

Point de vue équivalent. Se donner une action de $G$ sur $X$ revient à se donner un morphisme de groupes
$$\tau : G \to \mathfrak{S}(X), \qquad \tau(g)(x) = g \cdot x,$$où $\mathfrak{S}(X)$ est le groupe des bijections de $X$. En effet, l’axiome 2 dit que $\tau(gh) = \tau(g) \circ \tau(h)$, l’axiome 1 que $\tau(e) = \mathrm{id}_X$ ; chaque $\tau(g)$ est donc bijective, de réciproque $\tau(g^{-1})$. Le premier point de vue est le plus intuitif ; le second fait apparaître le noyau $\ker \tau$ et relie les actions aux groupes de permutations.

Exemples

1. Action naturelle du groupe symétrique. $\mathfrak{S}_n$ agit sur $\{1, \ldots, n\}$ par $\sigma \cdot i = \sigma(i)$.
2. Translation à gauche. $G$ agit sur lui-même par $g \cdot x = gx$. Plus généralement, si $H$ est un sous-groupe de $G$, alors $G$ agit sur l’ensemble $G/H$ des classes à gauche par $g \cdot (aH) = (ga)H$.
3. Conjugaison. $G$ agit sur lui-même par $g \cdot x = g x g^{-1}$, et sur l’ensemble de ses sous-groupes par $g \cdot H = g H g^{-1}$.
4. Action linéaire. $\mathrm{GL}_n(K)$ agit sur $K^n$ par $A \cdot v = Av$ ; sur $M_n(K)$ par conjugaison $P \cdot A = PAP^{-1}$ ; sur les matrices symétriques par congruence $P \cdot S = P S P^{\top}$.
5. Géométrie. Le groupe diédral $D_4$ des isométries du carré agit sur ses $4$ sommets, sur ses $4$ côtés, sur ses $2$ diagonales : un même groupe possède des actions très différentes.
6. Action triviale. $g \cdot x = x$ pour tous $g$ et $x$.

Remarques

• Piège classique. On voudrait faire agir $\mathfrak{S}_n$ sur $K^n$ en permutant les coordonnées par $\sigma \cdot (c_1, \ldots, c_n) = (c_{\sigma(1)}, \ldots, c_{\sigma(n)})$. Ce n’est pas une action à gauche : on vérifie que $\sigma \cdot (\tau \cdot c) = (\tau\sigma) \cdot c$, l’ordre est inversé. La bonne formule est $\sigma \cdot (c_1, \ldots, c_n) = (c_{\sigma^{-1}(1)}, \ldots, c_{\sigma^{-1}(n)})$.
• Une action à droite est une application $X \times G \to X$ avec $(x \cdot g) \cdot h = x \cdot (gh)$ ; on la transforme en action à gauche en posant $g \cdot x = x \cdot g^{-1}$.
• Avant de parler d’action, vérifier que $g \cdot x$ appartient bien à $X$ : par exemple $\mathfrak{S}_n$ agit sur les parties à $m$ éléments de $\{1, \ldots, n\}$ parce qu’une bijection conserve le cardinal.