Ivan Shishkin, Birch Grove

Application injective

Definition / Other /

Also known as: Injection

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Une application injective est une application qui admet au plus un antécédent pour chaque élément de son ensemble d’arrivée.

Définition formelle

Pour deux ensembles AA et BB, l’application f:A→Bf: A \rightarrow B est injective si et seulement si, elle vérifie :
∀y∈B\forall y \in B, il existe au plus un x∈Ax \in A tel que f(x)=yf(x)=y.

Autrement dit, ff est injective lorsque :
∀x,y∈A,f(x)=f(y)⇒x=y.\forall x,y \in A,\quad f(x)=f(y) \Rightarrow x=y.

Practice this concept with exercises

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  • Soient EE, FF et GG des ensembles.
    Soient f:E→Ff : E \to F, g:F→Gg : F \to G et h=g∘fh = g \circ f des applications.
    \newline
    1)\textbf{1)} Supposons que ff et gg soient injectives, montrer que hh est injective.
    2)\textbf{2)} Supposons que hh soit injective, montrer que ff est injective.
    3)\textbf{3)} Supposons que hh soit injective, est-ce que gg est nécessairement injective ?

    Open exercise
Problems using this concept (1)
Continue sur un intervalle + injective   ⟹  \implies strictement monotone
Problems using this concept (spoiler) (0)

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