Ivan Shishkin, Birch Grove

Distance

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Une distance sur un ensemble XX est une fonction d:X×X→R+d:X\times X \rightarrow \R_{+} telle que, pour tous x,y,z∈Xx,y,z\in X:

  1. Séparation : d(x,y)=0⇔x=yd(x,y)=0 \Leftrightarrow x=y
  2. Symétrie : d(x,y)=d(y,x)d(x,y)=d(y,x)
  3. Inégalité triangulaire : d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z)d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)
Remarques
  • La paire (X,d)(X,d) est appelée espace métrique.
  • d(x,y)d(x,y) s’appelle la distance entre xx et yy.

Practice this concept with exercises

  • Soit XX un ensemble non vide. Montrer que la fonction d ⁣:X×X→Rd\colon X\times X\to \R telle que :
    ∀x,y∈X,d(x,y)={1 si x≠y0 sinon \forall x,y\in X, d(x, y)= \begin{cases}1 & \text { si } x\neq y \\ 0 & \text { sinon }\end{cases}est une distance sur XX, appelée la distance discrète.

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