Distance

Définition intuitive

Une distance est une façon de mesurer à quel point deux éléments d’un ensemble sont éloignés l’un de l’autre.

Elle doit respecter certaines idées naturelles : deux points distincts sont à une distance strictement positive, la distance ne dépend pas du sens dans lequel on la mesure, et passer par un point intermédiaire ne peut pas raccourcir le trajet.

Définition formelle

Une distance sur un ensemble $X$ est une fonction $d:X\times X \rightarrow \R_{+}$ telle que, pour tous $x,y,z\in X$:

1. Séparation : $d(x,y)=0 \iff x=y$
2. Symétrie : $d(x,y)=d(y,x)$
3. Inégalité triangulaire : $d(x,z)\leqslant d(x,y)+d(y,z)$

Remarques

• La paire $(X,d)$ est appelée espace métrique.
• $d(x,y)$ s’appelle la distance entre $x$ et $y$.