Fréchet-différentiabilité
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Revision 7754
10/25/2026, 10:06:28 AM · Ancient Tree
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Revision 6436
10/2/2026, 12:27:46 PM · SalixBabylonica
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##### Définition formelle2
Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels normés sur $\mathbb{K}$ ($\mathbb{K}=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$), munis de leurs normes respectives $\|\cdot\|_E$ et $\|\cdot\|_F$. 3
Soit $D\subset E$ un ouvert, $a\in D$. Soit $f:D\to F$ une application. 4
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On dit que $f$ est *Fréchet-différentiable* (ou plus simplement différentiable) en $a$ lorsque il existe une application $Df(a)$ $\in \mathcal L_{c}(E,F)$ telle que pour tout $v$ au [[voisinnage]] de $0_{E}$, on a6
\[7
f(a+v)=f(a)+Df(a)(v) + o(\|v\|)8
\]9
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De manière équivalente, $f$ est Fréchet-différentible s'il existe une application $Df(a)\in\mathcal L_{c}(E,F)$ et une application $\varepsilon_a : V \longrightarrow F,$ définie sur un voisinnage $V$ de $0_{E}$ vérifiant $\lim_{v\to0_E}\varepsilon_a(v)=0_F$, telles que 11
De manière équivalente, $f$ est Fréchet-différentiable s'il existe une application $Df(a)\in\mathcal L_{c}(E,F)$ et une application $\varepsilon_a : V \longrightarrow F,$ définie sur un voisinnage $V$ de $0_{E}$ vérifiant $\lim_{v\to0_E}\varepsilon_a(v)=0_F$, telles que pour tout $v\in V$, on a12
pour tout $v\in V$, on a13
\[14
f(a+v)=f(a)+Df(a;v) + \|v\|\varepsilon_{a}(v)15
\]Revision 6435
10/2/2026, 12:26:48 PM · SalixBabylonica
Concept created
##### Définition formelle
Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels normés sur $\mathbb{K}$ ($\mathbb{K}=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$), munis de leurs normes respectives $\|\cdot\|_E$ et $\|\cdot\|_F$.
Soit $D\subset E$ un ouvert, $a\in D$. Soit $f:D\to F$ une application.
On dit que $f$ est *Fréchet-différentiable* (ou plus simplement différentiable) en $a$ lorsque il existe une application $Df(a)$ $\in \mathcal L_{c}(E,F)$ telle que pour tout $v$ au [[voisinnage]] de $0_{E}$, on a
\[
f(a+v)=f(a)+Df(a)(v) + o(\|v\|)
\]
De manière équivalente, $f$ est Fréchet-différentible s'il existe une application $Df(a)\in\mathcal L_{c}(E,F)$ et une application $\varepsilon_a : V \longrightarrow F,$ définie sur un voisinnage $V$ de $0_{E}$ vérifiant $\lim_{v\to0_E}\varepsilon_a(v)=0_F$, telles que
pour tout $v\in V$, on a
\[
f(a+v)=f(a)+Df(a;v) + \|v\|\varepsilon_{a}(v)
\]