frontière

Définition intuitive

La frontière d’une partie sépare ce qui est franchement dedans de ce qui est franchement dehors : c’est l’ensemble des points où l’on ne peut trancher, ceux dont tout voisinage, si petit soit-il, rencontre à la fois la partie et son complémentaire. Le vocabulaire géographique est trompeur sur un point. Une frontière n’est pas nécessairement une courbe fine, ni même un objet « petit » : la frontière de $\mathbb{Q}$ dans $\mathbb{R}$ est $\mathbb{R}$ tout entier, et il existe des ouverts du plan dont la frontière a une mesure strictement positive. L’intuition d’un contour mince ne vaut que pour des ensembles réguliers.

Définition formelle

Soient $X$ un espace topologique et $A\subseteq X$. La frontière de $A$, notée $\partial A$ ou $\mathrm{Fr}(A)$, est
$$\partial A=\overline{A}\setminus\mathring{A}=\overline{A}\cap\overline{X\setminus A}.$$De façon équivalente, $x\in\partial A$ si et seulement si tout voisinage de $x$ rencontre à la fois $A$ et $X\setminus A$.

Partition fondamentale. L’espace se décompose en trois morceaux deux à deux disjoints :
$$X=\mathring{A}\ \sqcup\ \partial A\ \sqcup\ \mathring{\overbrace{(X\setminus A)}}.$$

Propriétés immédiates.
$$\partial A \text{ est fermée};\qquad \partial A=\partial(X\setminus A);\qquad \partial\overline{A}\subseteq\partial A;\qquad \partial\mathring{A}\subseteq\partial A .$$

Caractérisations.

• $A$ est fermé $\iff\partial A\subseteq A$ ; ouvert $\iff A\cap\partial A=\varnothing$ ; à la fois ouvert et fermé $\iff\partial A=\varnothing$.
• Dans un espace connexe, les seules parties de frontière vide sont $\varnothing$ et $X$.

Preuve de la fermeture. $\partial A$ est l’intersection des deux fermés $\overline{A}$ et $\overline{X\setminus A}$. $\square$

Exemples

1. Dans $\mathbb{R}$ : $\partial\,]0,1[\,=\partial[0,1]=\partial\bigl([0,1]\cap\mathbb{Q}\bigr)^{c}=\{0,1\}$ pour les deux premiers, mais $\partial\mathbb{Q}=\partial(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q})=\mathbb{R}$.
2. Dans $\mathbb{R}^{n}$ : la frontière de la boule ouverte et celle de la boule fermée valent toutes deux la sphère $S^{n-1}$. En revanche, la frontière de la sphère elle-même est la sphère, son intérieur étant vide.
3. Un fermé d’intérieur vide. Pour $A=\{1/n:n\geqslant 1\}$ dans $\mathbb{R}$, on a $\partial A=A\cup\{0\}$ : la frontière est strictement plus grande que $A$, qui n’est pas fermé.
4. Sous-espaces vectoriels. Un sous-espace strict $F\subsetneq E$ de dimension finie est fermé d’intérieur vide, donc $\partial F=F$. Un hyperplan dense d’un espace de dimension infinie a pour frontière l’espace entier.
5. Contre-exemple (topologie discrète). Dans un espace discret, toute partie est ouverte et fermée, donc $\partial A=\varnothing$ pour tout $A$. La frontière ne détecte rien : c’est cohérent avec le fait qu’un tel espace est totalement déconnecté.