Norm - Math Woods

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Intuition

A norm is an object which can measure the "size" or "length" of a vector.

Formal definition

A norm on a vector space $E$ is a function $N:E\rightarrow \R^{+}$ with the following properties, for all vectors $x,y\in E$ and scalars $a\in \R$ :

Separation: If $N(x)=0$ , then $x=0$ .
Scaling: $N(ax)=|a|N(x)$ .
Triangle inequality: $N(x+y)\leq N(x)+N(y)$ .

Remarks

Norms are usually denoted
$\|.\|$ For instance, $\|(x,y)\|$ is the norm of vector $(x,y)$ in $\R^{2}$ .
A vector space with a norm is called a normed vector space.

Practice this concept with exercises

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Montrer que les applications suivantes définissent une norme sur l’espace vectoriel de définition.

$(\mathbf{1})$ $\lVert . \rVert_{1} : \mathbb{R}^{n} \longrightarrow \mathbb{R}$ , $(x_{1},\,...\,,\,x_{n}) \mapsto \sum_{i = 1}^{n}\lvert x_{i} \rvert$ .
$(\mathbf{2})$ $\lVert . \rVert_{\infty} : \mathbb{R}^{n} \longrightarrow \mathbb{R}$ , $(x_{1},\,...\,,\,x_{n}) \mapsto \underset{1 \leq i \leq n}{\mathrm{max}}(\lvert x_{i} \rvert)$ .
$\mathbf{(3)}$ Soit $(E,\lVert.\rVert)$ un espace vectoriel normé, et $F$ un espace vectoriel. Soit $\phi : E \longrightarrow F$ un isomorphisme linéaire. Montrer que l’application $\phi \circ \lVert. \rVert \circ \phi^{-1} : F \longrightarrow \mathbb{R}$ est une norme sur $F$ . On l’appelle la $\textbf{norme transportée}$ de $\lVert. \rVert$ sur $F$ par $\phi$ .
$(\mathbf{4})$ Soit $(E_{i},\lVert.\rVert_{i})_{1 \leq i \leq n}$ une famille finie d’espaces vectoriels normés. Montrer que les applications $N_{1} : \prod_{i}E_{i} \longrightarrow \mathbb{R}$ , $(x_{1},\,...\,,\,x_{n}) \mapsto \sum_{i=1}^{n}\lvert x_{i} \rvert$ et $N_{\infty} : \prod_{i} E_{i} \longrightarrow \mathbb{R}$ , $(x_{1},\,...\,,\,x_{n}) \mapsto \underset{1 \leq i \leq n}{\mathrm{max}}(\lvert x_{i \rvert})$ sont des normes. On dit alors que les $\textbf{produits finis}$ d’espaces normés sont normés.
$(\mathbf{5})$ $\lVert. \rVert : \mathcal{C}([0,1]) \longrightarrow \mathbb{R}$ , $f \mapsto \sqrt{\int_{0}^{1}f(t)^{2}dt}$ .

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Problems using this concept (1)

Continuity of differentiation

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