Norme

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Intuition

Une norme est un objet permettant de mesurer la "taille" ou "longueur" d’un vecteur.

Définition formelle

Une norme sur un espace vectoriel $E$ est une fonction $N:E\rightarrow \R^{+}$ avec les propriétés suivantes, pour tous vecteurs $x,y\in E$ et scalaires $a\in \R$ :

Séparation: si $N(x)=0$ , alors $x=0$ .
Homogénéité: $N(ax)=|a|N(x)$ .
Inégalité triangulaire: $N(x+y)\leq N(x)+N(y)$ .

Remarques

Les normes sont souvent notées $\|.\|$ : par exemple, on notera $\|(x,y)\|$ pour la norme du vecteur $(x,y)$ dans $\R^{2}$ .
Un espace vectoriel avec une norme s’appelle un espace vectoriel normé.
Notons que, dans la définition formelle, on peut simplement supposer que $N$ est à valeurs dans $\mathbb{R}$ . En effet, si $x \in E$ , par l’inégalité triangulaire, $0 = \lVert x - x \rVert \leq 2\lVert x \rVert$ , et ainsi $\lVert x \rVert$ est nécessairement positif pour tout $x$ .

Exemples

La norme euclidienne (ou "norme $2$ ") est définie par $\lVert (x,y)\rVert_{2} = \sqrt{x^{2}+y^{2}}$ .
Plus généralement, on définit sur $\mathbb{R}^{n}$ les "normes $p$ " (où $p$ est un réel plus grand que $1$ ) par $\lVert (x_{1},\,...\,,\,x_{n})\rVert_{p} = \big( \sum_{i = 1}^{n}\lvert x_{i}\rvert^{p}\big)^{\frac{1}{p}}$ .
La norme infinie sur $\mathbb{R}^{n}$ est donnée par $\lVert (x_{1},\,...\,,\,x_{n})\rVert_{\infty} = \underset{1 \leq i \leq n}{\mathrm{max}}(\lvert x_{i} \rvert)$ .
Sur l’espace $\mathcal{C}([0,1])$ (les fonctions continues de $[0,1]$ dans $\mathbb{R}$ ), l’application $f \mapsto \sqrt{\int_{0}^{1}f^{2}(t)dt}$ est une norme.

Practice this concept with exercises

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Montrer que les applications suivantes définissent une norme sur l’espace vectoriel de définition.

$(\mathbf{1})$ $\lVert . \rVert_{1} : \mathbb{R}^{n} \longrightarrow \mathbb{R}$ , $(x_{1},\,...\,,\,x_{n}) \mapsto \sum_{i = 1}^{n}\lvert x_{i} \rvert$ .
$(\mathbf{2})$ $\lVert . \rVert_{\infty} : \mathbb{R}^{n} \longrightarrow \mathbb{R}$ , $(x_{1},\,...\,,\,x_{n}) \mapsto \underset{1 \leq i \leq n}{\mathrm{max}}(\lvert x_{i} \rvert)$ .
$\mathbf{(3)}$ Soit $(E,\lVert.\rVert)$ un espace vectoriel normé, et $F$ un espace vectoriel. Soit $\phi : E \longrightarrow F$ un isomorphisme linéaire. Montrer que l’application $\phi \circ \lVert. \rVert \circ \phi^{-1} : F \longrightarrow \mathbb{R}$ est une norme sur $F$ . On l’appelle la $\textbf{norme transportée}$ de $\lVert. \rVert$ sur $F$ par $\phi$ .
$(\mathbf{4})$ Soit $(E_{i},\lVert.\rVert_{i})_{1 \leq i \leq n}$ une famille finie d’espaces vectoriels normés. Montrer que les applications $N_{1} : \prod_{i}E_{i} \longrightarrow \mathbb{R}$ , $(x_{1},\,...\,,\,x_{n}) \mapsto \sum_{i=1}^{n}\lvert x_{i} \rvert$ et $N_{\infty} : \prod_{i} E_{i} \longrightarrow \mathbb{R}$ , $(x_{1},\,...\,,\,x_{n}) \mapsto \underset{1 \leq i \leq n}{\mathrm{max}}(\lvert x_{i \rvert})$ sont des normes. On dit alors que les $\textbf{produits finis}$ d’espaces normés sont normés.
$(\mathbf{5})$ $\lVert. \rVert : \mathcal{C}([0,1]) \longrightarrow \mathbb{R}$ , $f \mapsto \sqrt{\int_{0}^{1}f(t)^{2}dt}$ .

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Continuité de la dérivation

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