Norme

Intuition

Une norme est un objet permettant de mesurer la "taille" ou "longueur" d’un vecteur.

Définition formelle

Une norme sur un espace vectoriel $E$ est une fonction $N:E\rightarrow \R^{+}$ avec les propriétés suivantes, pour tous vecteurs $x,y\in E$ et scalaires $a\in \R$:

1. Séparation: si $N(x)=0$, alors $x=0$.
2. Homogénéité: $N(ax)=|a|N(x)$.
3. Inégalité triangulaire: $N(x+y)\leq N(x)+N(y)$.

Remarques

• Les normes sont souvent notées $\|.\|$ : par exemple, on notera $\|(x,y)\|$ pour la norme du vecteur $(x,y)$ dans $\R^{2}$.
• Un espace vectoriel avec une norme s’appelle un espace vectoriel normé.
• On déduit, à partir de l’axiome d’homogénéité en prenant $a = 0$, que $N(0) = 0$. L’implication de l’axiome de séparation est en fait une équivalence.
• Notons que, dans la définition formelle, on peut simplement supposer que $N$ est à valeurs dans $\mathbb{R}$. En effet, si $x \in E$, par l’inégalité triangulaire et l’homogénéité, $0 = \lVert x - x \rVert \leq 2\lVert x \rVert$, et ainsi $\lVert x \rVert$ est nécessairement positif pour tout $x$.

Exemples

• La norme euclidienne (ou "norme $2$") est définie par $\lVert (x,y)\rVert_{2} = \sqrt{x^{2}+y^{2}}$.
• Plus généralement, on définit sur $\mathbb{R}^{n}$ les "normes $p$" (où $p$ est un réel plus grand que $1$) par $\lVert (x_{1},\,...\,,\,x_{n})\rVert_{p} = \big( \sum_{i = 1}^{n}\lvert x_{i}\rvert^{p}\big)^{\frac{1}{p}}$.
• La norme infinie sur $\mathbb{R}^{n}$ est donnée par $\lVert (x_{1},\,...\,,\,x_{n})\rVert_{\infty} = \underset{1 \leq i \leq n}{\mathrm{max}}(\lvert x_{i} \rvert)$.
• Sur l’espace $\mathcal{C}([0,1])$ (les fonctions continues de $[0,1]$ dans $\mathbb{R}$), l’application $f \mapsto \sqrt{\int_{0}^{1}f^{2}(t)dt}$ est une norme.