Orbite d’une action de groupe

Définition intuitive

L’orbite d’un élément $x$ de $X$ est l’ensemble des tous les points qui sont atteignables à partir de $x$ en lui appliquant les éléments du groupe.

Par exemple, si le groupe des rotations d’un triangle équilatéral agit sur ce triangle, alors l’orbite d’un sommet est l’ensemble des trois sommets du triangle.

L’orbite du sommet $A$ est l’ensemble $\{A,B,C\}$ : en appliquant successivement la rotation $r$ d’un tiers de tour, on peut envoyer $A$ sur chacun des trois sommets.

Définition formelle

Soit $G$ un groupe agissant sur un ensemble $X$. Pour $x\in X$, on appelle orbite de $x$ l’ensemble
$$G\cdot x=\{g\cdot x\mid g\in G\}.$$