Ordre de multiplicité d’une racine d’un polynôme

Définition

Soit $\mathbb{K}$ un corps, $A\in \mathbb{K}[X]$ et $a \in \mathbb{K}$ une racine de $A$.
L’ordre de multiplicité de $a$ est le plus grand entier $k$ tel que
$$(X-a)^{k}|A.$$

Remarques

• Dire que $a$ est une racine d’ordre $0$ de $A$ signie que $a$ n’est pas racine de $A$.
• Lorsque $a$ est une racine d’ordre $1$ de $A$, on dit plus simplement que c’est une racine simple.
• Cette notion joue un rôle similaire à la valuation p-adique en arithmétique.

Exemple

Notons $A=X^{3}(X-1)(X-\pi)^{2026}$.
Alors :

• $0$ est une racine d’ordre $3$ de $A$,
• $1$ est une racine simple de $A$,
• $\pi$ est une racine d’ordre $2026$ de $A$.