Produit en croix

Définition intuitive

Le produit en croix est un calcul simple qui permet d’obtenir une valeur manquante à partir de trois autres, lorsque ces valeurs sont reliées par une situation de proportionnalité.
Il s’agit du calcul qui permet de retrouver, par exemple, la nouvelle valeur d’une proportion, lorsque la valeur du total varie ; ou encore, de faire évoluer proportionnellement deux valeurs en même temps.

Mode de calcul et exemple

On parle de « produit en croix » en raison de la visualisation traditionnelle du calcul dans un tableau à double entrée.
Par exemple : on a besoin de $11L$ de terreau pour remplir deux jardinières, et on veut savoir combien de litres de terreau sont nécessaire pour en remplir $7$. On écrit le tableau suivant, où chaque colonne correspond à une situation en fonction du nombre de jardinières :

On multiplie toujours les chiffres placés en diagonale dans le tableau (suivant la ligne bleue), et on divise le produit par la dernière valeur disponible (suivant la ligne jaune).
On a donc :
$$\frac{7 \times11}{2} = x = 38,5L .$$

Attention !

On peut organiser le tableau autrement (inverser les deux lignes, les deux colonnes, ou mettre en ligne ce qui est en colonne) mais il faut toujours prendre garde à clairement identifier où se trouvent les deux situations avec le même rapport de proportionnalité. Il s’agit souvent de bien visualiser la situation dans laquelle on effectue le calcul pour comprendre quelles valeurs sont en lien les unes avec les autres.
Dans notre exemple, on a donc :
$$\frac{2}{11} = \frac{7}{x}$$et inversement, mais
$$\frac{2}{x} \neq \frac{7}{11}.$$

Exemples

• On utilise un produit en croix pour calculer les nouvelles quantités d’ingrédients dans un plat lorsque le nombre de parts n’est pas le même que dans la recette.
• Le passage d’un pourcentage à une valeur absolue (et réciproquement) peut s’effectuer par un produit en croix.