Topologie plus fine qu’une autre

Définition

Soient $\mathcal T_1$ et $\mathcal T_2$ deux topologies sur un ensemble $E$. On dit que la topologie $\mathcal T_1$ est plus fine que la topologie $\mathcal T_2$ lorsque
$$\mathcal T_2\subset \mathcal T_1.$$

Autrement dit, tout ouvert de $\mathcal T_2$ est un ouvert de $\mathcal T_1$.

Remarques

• Plus une topologie est fine, plus elle possède d’ouverts.
• Si $\mathcal T_1$ est plus fine que $\mathcal T_2$, alors toute suite convergente pour $\mathcal T_1$ converge également pour $\mathcal T_2$ :
  $$x_n \xrightarrow[\mathcal T_1]{} x \Longrightarrow x_n \xrightarrow[\mathcal T_2]{} x.$$