Valuation $p$-adique

Définition formelle :

Soir $n$ un entier non-nul et $p$ un nombre premier. On définit $\nu_{p} : \Z^{*} \to \N$ la valuation $p$-adique comme suit
$$\nu_{p}(n) = \max \{i \in \N : p^{i} \mid n \}.$$Ainsi, $\nu_{p}(n)$ est l’exposant de la plus grande puissance de $p$ qui divise $n$, avec $\nu_{p}(n) = 0$ si $p$ n’est pas un facteur premier de $n$.

Remarques

$\bullet$ On peut généraliser cette définition aux rationnels non-nuls en posant $\nu_{p}(\frac{a}{b}) = \nu_{p}(a) - \nu_{p}(b).$ Noter que ceci ne dépend pas du quadruplet $(a,b,c,d) \in (\Z^{*})^{4}$ tel que $\frac ab = \frac cd$.

$\bullet$ Avec cette définition, le théorème fondamental de l’arithmétique s’écrit
$$\forall n\in\N^*, \ n=\prod_{p\,\,\text{premier}}p^{\nu_p(n)}$$et cette égalité peut être généralisée à tout rationnel non-nul.

Exemples

$\bullet$ La valuation $2$-adique de $8$ est $3$, car $8=2^3$.
$\bullet$ La valuation $3$-adique de $24$ est $1$, car $24=2^3\times 3$.
$\bullet$ La valuation $5$-adique de $\displaystyle\frac{10}{25}$ est $\nu_5(10)-\nu_5(25)=\nu_5(5\times2)-\nu_5(5^2)=1-2=-1$ (ce qu’on retrouve avec $\nu_5(2)-\nu_5(5)=0-1=-1$ puisque $\displaystyle{10\over25}={2\over5}$).