Variété topologique à bord

Intuition

Une variété topologique ressemble localement à un espace euclidien. Cependant, cette définition exclut certains espaces naturels, comme le disque fermé ou le cylindre fermé, dont les points situés sur le bord ne possèdent pas de voisinages homéomorphes à des ouverts de $\R^n$.

La notion de variété topologique à bord généralise celle de variété topologique en autorisant ces points à posséder des voisinages semblables à des demi-espaces euclidiens.

Définition formelle

On note
$$\mathbb H^n=\{(x_1,\ldots,x_n)\in\R^n\mid x_n\geqslant 0\}$$le demi-espace euclidien de dimension $n$, muni de la topologie induite par $\R^n$.

Une variété topologique à bord de dimension $n$ est un espace topologique $M$ qui est séparé, à base dénombrable, et tel que chaque point de $M$ possède un voisinage ouvert homéomorphe à un ouvert de $\mathbb H^n$.