Bord d’une variété

Intuition

Dans une variété à bord, comme le disque fermé, on distingue deux types de points : ceux dont les voisinages ressemblent à des disques ouverts, et ceux dont les voisinages ressemblent à des demi-disques.

Le bord d’une variété rassemble les points de ce second type.

Définition formelle

Soit $M$ une variété topologique à bord de dimension $n\geq 1$, et soit
$$\mathbb H^n=\{(x_1,\ldots,x_n)\in\R^n\mid x_n\geq 0\}.$$

Le bord de $M$, noté $\partial M$, est l’ensemble des points $p\in M$ tels qu’il existe une carte locale à bord $(U,\varphi)$ contenant $p$ telle que
$$\varphi(p)\in\{(x_1,\ldots,x_n)\in\mathbb H^n\mid x_n=0\}.$$