A perplexity of eggs

On note $x$ le nombre de boîtes d’œufs de 2, $y$ le nombre de boîtes d’œufs de 1, $z$ le nombre de boîtes d’œufs de 5.
On cherche alors $x,y,z\in \mathbb{Z}$ tel que $60=2x+y+5z$
Or, on sait que $y=6x$, donc cela nous ramène à l'équation diophantienne suivante :
$$60=8x+5z$$

On calcule alors les coefficients de Bézout de 8 et 5 à l’aide de l’algorithme d’Euclide :

• $8 = 5\times1+3$
• $5=3\times1 + 2$
• $3=2\times1 +1$
• $2 = 1\times 2 =0$

Donc $\gcd(8,5)=1$ et $1|60$ donc notre problème a au moins une solution.
On remonte alors l’algorithme d’Euclide :

• $1 = 3 - 2$
• $1 = 3 - (5-3) = 3\times2 - 5$
• $1 = (8-5)\times2 - 5 = 1 = 2\times8 - 3\times5.$

En multipliant par 60 cette dernière équation , on obtient $60=120\times8 - 180\times5$.

En soustrayant avec notre équation de départ, on obtient $0=8(120-x)-5(180+z)$.
Donc $8(120-x) = 5(180+z)$
Donc $8 | 5(180+z)$ mais $\gcd(8,5)=1$.
Ainsi, par théorème de Gauss, $8|(180+z)$, et donc il existe $k\in \mathbb{Z}$ tel que $8k=180+z$.

On obtient alors que $z=8k-180$ et $0=(120-x) -5k$.
Ainsi, le couple $(x,z)=(120-5k,-180+8k)$ est solution de notre équation.

Or, on veut $x,y,z \in \mathbb{N}$, donc on veut $120-5k\geqslant 0$ et $-180+8k\geqslant 0$, puisque a priori avoir un nombre de boîtes d’œufs négatifs n’a pas sens réel.

Autrement dit, cela donne $24\geqslant k$ et $k\geqslant 180/8 = 22{,}5$ donc $k = 23$ ou $24$ puisque il doit être entier.

Pour $k=24,$ on a $x=0,y=0,z=12$, ce qui a priori n’est pas la solution recherchée puisque le client cherche d’abord à avoir des boîtes d’œufs de $2$ et de $1$, donc il faut $x$ et $y$ non nul.

Pour $k=23,$ on a $x=5,y=30,z=4$, ce qui convient comme solution au problème.