A square-integrable second derivative ?

On note $\|f''\|_{2}=\left(\int_{0}^{+\infty}f''^{\,2}\right)^{1/2}<+\infty$, et pour $I\subseteq\mathbb{R}_+$ on écrit $\|f''\|_{L^{2}(I)}=\left(\int_{I}f''^{\,2}\right)^{1/2}$. Comme $\int_{0}^{+\infty}f''^{\,2}$ converge, ses restes tendent vers $0$ :
$$\varepsilon_n:=\|f''\|_{L^{2}([2n,+\infty[)}\xrightarrow[n\to+\infty]{}0 .$$

L’idée est d’exploiter l’intégrabilité de $f$ pour trouver des points où $f$ est petite, d’en déduire par le théorème des accroissements finis des points où $f'$ est petite, puis de propager cette petitesse à des intervalles entiers grâce au contrôle $L^{2}$ sur $f''$.

Étape 1 : des points où $f$ est petite

Posons, pour $n\in\mathbb{N}$,
$$\alpha_n=\int_{2n}^{2n+1}|f(t)|\,\mathrm{d}t .$$Les intervalles $[2n,2n+1]$ étant deux à deux disjoints, on a $\sum_{n\geqslant 0}\alpha_n\leqslant\int_{0}^{+\infty}|f|<+\infty$, donc $\alpha_n\to 0$.

La fonction $|f|$ étant continue sur le segment $[2n,2n+1]$, de longueur $1$, la formule de la moyenne fournit un point
$$a_n\in[2n,2n+1]\qquad\text{tel que}\qquad |f(a_n)|=\alpha_n .$$

Étape 2 : des points où $f'$ est petite

On a $a_n\in[2n,2n+1]$ et $a_{n+1}\in[2n+2,2n+3]$, donc
$$1\leqslant a_{n+1}-a_n\leqslant 3 .$$Le théorème des accroissements finis appliqué à $f$ sur $[a_n,a_{n+1}]$ donne un $\xi_n\in\,]a_n,a_{n+1}[\,\subseteq[2n,2n+3]$ tel que
$$|f'(\xi_n)|=\frac{|f(a_{n+1})-f(a_n)|}{a_{n+1}-a_n}\leqslant \alpha_n+\alpha_{n+1}\xrightarrow[n\to+\infty]{}0,$$la minoration $a_{n+1}-a_n\geqslant 1$ étant ici essentielle.

Étape 3 : $f'$ tend vers $0$

Soit $x\in[2n,2n+3]$. Comme $f'$ est de classe $\mathcal{C}^{1}$, on a $f'(x)=f'(\xi_n)+\int_{\xi_n}^{x}f''(t)\,\mathrm{d}t$, et l’inégalité de Cauchy–Schwarz donne
$$\left|\int_{\xi_n}^{x}f''\right|\leqslant \sqrt{|x-\xi_n|}\;\|f''\|_{L^{2}([2n,2n+3])}\leqslant \sqrt{3}\,\varepsilon_n ,$$puisque $x$ et $\xi_n$ appartiennent tous deux à $[2n,2n+3]$. Par conséquent
$$\sup_{x\in[2n,2n+3]}|f'(x)|\ \leqslant\ \alpha_n+\alpha_{n+1}+\sqrt{3}\,\varepsilon_n\ =:\ \beta_n\xrightarrow[n\to+\infty]{}0 .$$Or $\bigcup_{n\geqslant N}[2n,2n+3]\supseteq[2N,+\infty[$, les intervalles $[2n,2n+2]$ se recouvrant de proche en proche. Donc pour tout $x\geqslant 2N$, en choisissant $n\geqslant N$ avec $x\in[2n,2n+2]$, on obtient $|f'(x)|\leqslant\sup_{k\geqslant N}\beta_k$. Ce dernier majorant tendant vers $0$ quand $N\to+\infty$, on conclut
$$f'(x)\xrightarrow[x\to+\infty]{}0 .$$

Étape 4 : $f$ tend vers $0$

Soit $x\in[2n,2n+3]$. Comme $a_n\in[2n,2n+1]$, on a $|x-a_n|\leqslant 3$ et
$$|f(x)|=\left|f(a_n)+\int_{a_n}^{x}f'(t)\,\mathrm{d}t\right|\leqslant \alpha_n+3\sup_{[2n,2n+3]}|f'|\leqslant \alpha_n+3\beta_n .$$Le même argument de recouvrement qu’à l’étape 3 donne alors $f(x)\to 0$ quand $x\to+\infty$. $\blacksquare$

Preuve pour la limite de $f$

On s’inspire pour cette preuve d’une preuve classique de $f$ et $f''$ bornées sur $\R$ pour obtenir une estimation de la norme infinie de $f'$.
D’après la formule de Taylor avec reste intégral on a $\forall x\in \R, \forall h\in \R^{+}, f(x+h)-f(x)=hf'(x)+R_{1}$ et $f(x-h)-f(x)=-hf'(x)+R_{2}$,
d’où en sommant :
$2f(x)=f(x+h)+f(x-h)-R_{1}-R_{2}$.

Avec Cauchy-Schwarz on estime $R_1$ et $R_2$, on obtient une estimation $R_{1} \leqslant Ch^{3/2}$ où $C^{2}=\int_{\R}f''^{{2}}$, et idem pour $R_2$.

Ainsi $2|f(x)|\leqslant |f(x+h)|+|f(x-h)|+2Ch^{3/2}$ (1).
Soit alors $a>0$.
On intègre l’inégalité (1) entre $a$ et $2a$, d’où après majoration $2a|f(x)|\leqslant \displaystyle\int_{x-2a}^{x+2a}|f(t)|dt+C'a^{5/2}$ .
Soit alors $\varepsilon>0$ et soit $a$ assez petit de sorte que $C'a^{3/2}<\varepsilon$.
$a$ est désormais fixé.
Par hypothèse d’intégrabilité de $f$, l’intégrale du second membre tend vers 0 lorsque $x$ tend vers $+\infty$, donc est inférieure à $\varepsilon$ pour $x$ assez grand, ce qui achève la preuve.

Preuve pour la limite de $f'$

Comme $f$ est continue et tend vers 0 en $+\infty$, $f$ est bornée.
La formule de Taylor avec reste intégral de $x$ à $x+h$ donne alors en utilisant la même notation de $R_1$ donnée plus haut une estimation du type $\forall x>0, \forall h>0, |hf'(x)|\leqslant 2||f||_{\infty}+|R_{1}|$, et d’après l’inégalité de Cauchy-Schwarz on a $|R_{1}|\leqslant \frac{h^{3/2}}{\sqrt 3}g(x)$ où $g(x):=[\int_{x}^{+\infty}|f''|^{2}(t)\diff t]^{1/2}$.

NB : cette estimation est plus fine que celle utilisée plus haut pour la limite de $f$ où on avait majoré $g$ par $g(0)$.

Puis en minimisant cette fonction en $h$, on obtient une estimation du type $\forall x, |f'(x)|\leqslant K ||f||_{\infty}^{1/3}g(x)^{2/3}$ où $K$ est une constante universelle et comme $g$ tend vers 0 à l’infini par hypothèse, on conclut.