Amplitude des racines d'un polynôme

Soit $P(X):=\sum_{i=0}^{n}a_{i}X^{i}$ un polynôme non constant à coefficients complexes.

Est-il nécessaire que toutes ses racines $\lambda$ vérifient $|\lambda| \leqslant \sum_{i=0}^n\left|a_i\right|$ ?

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Sequoia@sequoia

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Solution by Sequoia · translated by Catalpa

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Supposons que l’inégalité fonctionne pour toutes les racines de tous les polynômes complexes de degré supérieur ou égal à $1$ .

Puis, toute racine $\lambda$ de $P(X):=\sum_{i=0}^{n}a_{i}X^{i}$ est aussi une racine de $\alpha P$ où $\alpha$ est un nombre complexe non nul. Ainsi, si $\lambda$ est une solution de l’inégalité pour $P$ , alors cela doit aussi être une solution pour $\alpha P$ . Ainsi, pour tout $\alpha\in\mathbb{C}^{*}$ :
$\vert\lambda\vert \leqslant \vert\alpha\vert\,\sum_{i=0}^{n}\vert a_{i}\vert$ Mais alors, on peut faire tendre $\alpha$ vers $0$ , donc $\lambda$ doit valoir $0$ . Mais il existe des polynômes dont les racines ne sont pas $0$ , ce qui fait une contradiction.

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