Deux triangles imbriqués dans un demi-cercle

On trace un demi-cercle de diamètre $[AB]$ , et on place un point $C$ sur le demi-cercle comme sur la figure ci-dessous.
On construit le cercle inscrit dans le triangle $ABC$ .
On note $X,Y,Z$ les points de tangence du cercle avec les côtés $[BC], [AC]$ et $[AB]$ .
Déterminer l’angle en $Z$ dans le triangle $XYZ$ .

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Solution by araucaria araucana

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On construit le centre $O$ du cercle inscrit, ainsi que les segments $OY, OX$ et $OC$ .
Par le théorème de l’angle droit, l’angle $\widehat{ACB}$ vaut $\pi/2$ . Puisque $O$ est l’intersection des bissectrices des angles $A,B$ et $C$ , on a aussi $\widehat{YCO} = \widehat{XCO} = \pi/4$ . De plus, $X$ et $Y$ sont des points de tangence, donc on trouve $\widehat{OYC} = \widehat{OXC} = \pi/2$ . Il suit que les angles $\widehat{YOC}$ et $\widehat{XOC}$ sont égaux et valent $\pi - \pi/2 - \pi/4 = \pi/4$ . L’angle $Z$ vaut la moitié de l’angle au centre $\widehat{YOX}$ , c’est-à-dire $\pi/4$ .

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