Arithmétique ou géométrique ?

Soit la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ définie par $u_0=2$ et $u_{n+1}=3u_n+4, n\in\mathbb{N}$ . On pose $v_n:=u_n+2$ pour tout $n\in\mathbb{N}$ .

Pour $n\in\mathbb{N}$ , exprimer $v_{n+1}$ en fonction de $u_n$ , puis en fonction de $v_n$ . Que peut-on dire de la nature de $(v_n)_{n\in\mathbb{N}}$ ?
Trouver $v_0$ ; en déduire $v_n$ en fonction $n$ .
Enfin, montrer que :
$\forall n\in\mathbb{N}, u_n=4\cdot 3^n-2$

En général, toute suite définie par une relation de récurrence telle que $u_{n+1}=qu_n+r$ avec $q\neq1$ peut ête écrite sous la forme
$u_n= \left(u_0+\frac{r}{q-1}\right)q^n-\frac{r}{q-1}.$

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Solution by Sequoia

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On change $n$ en $n+1$ dans la définition de $v_n$ , ce qui donne $v_{n+1}=u_{n+1}+2$ .
Il ne reste plus qu’à changer $u_{n+1}$ en sa formule, ce qui donne $v_{n+1}=(3u_n+4)+2=3u_n+6$ .
Pour exprimer ce résultat en fonction de $v_n$ , on reprend notre relation $v_n=u_n+2$ qui peut aussi s’écrire $u_n=v_n-2$ pour exprimer $u_n$ en fonction de $v_n$ .
Cela donne alors $v_{n+1}=3u_n+6=3(v_n-2)+6=3v_n$ . Ainsi $(v_n)_n$ est géométrique de raison $3$ !
On a $v_0=u_0+2=2+2=4$ . Par la formule des suites géométriques de raison $q$ (ici $q=3$ ), on trouve ainsi $v_n=v_0\,q^n=4\cdot 3^n$ .
On rappelle la formule $u_n=v_n-2$ puis on utilise la question précédente pour trouver $u_n=4\cdot 3^n-2$ . Ce qui est bien ce qu’on voulait !

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