Autour de la "spirale de Théodore"

Dans "Le Théétète", Platon rapporte un dialogue entre Socrate et Théétète, au sujet du mathématicien Théodore :

Τhééthète

Et en fait, il se pourrait que tu demandes la sorte de chose qui nous est venue à l’esprit, à moi et à ce Socrate-là ton homonyme, alors que nous discutions entre nous tout à l’heure.

Socrate
Quoi donc, Théétète ?

Τhééthète
Quelque chose à propos des puissances. Théodore ici présent nous avait trace des figures, mettant en évidence que la puissance de 3 pieds aussi bien que celle de 5 pieds ne sont pas commensurables en longueur avec celle de 1 pied ; il a continué ainsi, prenant chacune à tour de rôle, jusqu’à celle de 17 pieds. Il s’est arrêté là pour quelque raison.

Quelle figure peut bien avoir tracé Théodore ? Pourquoi le terme "commensurable" ?
Pourquoi s’est il arrêté au nombre 17 ?

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Solution by goldfinch

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Pour bien comprendre ce passage du Théétète, il faut prendre en compte la spécificité de la langue grecque, et même de la technique de traduction en français. Je propose quelques clefs de lecture :

A propos de "puissance de 3 pieds", par le terme "puissance" il faut entendre "côté d’un carré relativement à l’aire d’un carré". Par exemple pour puissance de 3 pieds il s’agit du côté d’un carré qui aurait pour surface 3. Ce côté en langage moderne serait donc $\sqrt {3}$ . De même "puissance de 5 pieds" serait $\sqrt {5}$

La non "commensurabilité" en longueur de $\sqrt {3}$ et de 1 signifie, pour les grecs, qu’il n’existe pas de "plus petite unité u" qui permette d’exprimer les deux grandeurs $\sqrt {3}$ et 1 sous la forme $m\times u$ et $n\times u$ avec m et n entiers. Autrement dit les deux grandeurs ne peuvent se mesurer l’une par rapport à l’autre avec une "commune mesure".En langage moderne, nous dirions que $\sqrt {3}$ , qui est non-commensurable avec 1, est irrationnel

La construction de la spirale de Theodore est proposée dans le problème "construction de la spirale de Theodore". La figure est la suivante :

Le terme "commensurable" a été évoqué précédemment

De nombreuses interprétations géométriques et numériques ont été données au sujet de la limitation à 17 évoquée dans le texte de Platon.
Pour lancer le débat, en voici une qui a le mérite de la simplicité : Theodore considérait peut-être simplement cette spirale comme un outil de détermination géométrique des racines pour en trouver des valeurs approchées. Et si on poursuit la construction (pour n=18, en pointillé), la spirale s’enroule sur elle-même , ce qui pouvait rendre les déterminations imprécises.

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