Centre d’un $p$-groupe

1. $\hookrightarrow$ Le neutre $e \in G$ vérifie $ey = ye = y$ pour tout $y \in G$. Donc $e \in \mathcal{Z}(G)$. Ainsi, $\mathcal{Z}(G) \neq \emptyset$.

$\hookrightarrow$ Soient $a, b \in \mathcal{Z}(G)$. Montrons que $ab^{-1} \in \mathcal{Z}(G)$.
Pour tout $y \in G$, on a $by = yb$. En multipliant à gauche et à droite par $b^{-1}$, on obtient $yb^{-1} = b^{-1}y$.
Maintenant, évaluons $(ab^{-1})y$ :
$$(ab^{-1})y = a(b^{-1}y) = a(yb^{-1}) = (ay)b^{-1} = (ya)b^{-1} = y(ab^{-1})$$(car $a \in \mathcal{Z}(G)$ implique $ay = ya$).
Ainsi, $ab^{-1}$ commute avec tout élément de $G$, donc $ab^{-1} \in \mathcal{Z}(G)$.

Ainsi $\mathcal{Z}(G)$ est un sous-groupe de $G$.

D’après le théorème de Lagrange^EN, le cardinal d’un sous-groupe divise le cardinal du groupe. Ainsi, $\#\mathcal{Z}(G)$ divise $\#G = p^k$. On en déduit que $\#\mathcal{Z}(G) = p^m$ avec $0 \leq m \leq k$. $\mathcal{Z}(G)$ est donc bien un $p$-groupe.

2. On vérifie les deux axiomes d’une action d’un groupe sur un ensemble :

$\hookrightarrow$ Pour tout $x \in G$, $e \cdot x = e x e^{-1} = e x e = x$.

$\hookrightarrow$ Pour tous $g, h \in G$ et pour tout $x \in G$,
$$g \cdot (h \cdot x) = g \cdot (hxh^{-1}) = g(hxh^{-1})g^{-1} = (gh)x(h^{-1}g^{-1}) = (gh)x(gh)^{-1} = (gh) \cdot x$$

L’application $(g, x) \mapsto gxg^{-1}$ définit donc bien une action de $G$ sur lui-même par conjugaison.

3. Le stabilisateur de $x \in G$ sous cette action est $\text{Stab}(x) = \{g \in G \mid gxg^{-1} = x\}$.
   C’est le centralisateur de $x$. De manière générale, un stabilisateur est toujours un sous-groupe. En effet : $exe^{-1}=x \implies e \in \text{Stab}(x)$ ; et si $g,h \in \text{Stab}(x)$, alors $(gh^{-1})x(gh^{-1})^{-1} = gh^{-1}xhg^{-1} = g(h^{-1}xh)g^{-1} = gxg^{-1} = x$ (car $hxh^{-1}=x \implies x = h^{-1}xh$). Donc $\text{Stab}(x)$ est un sous-groupe de $G$.

D’après le théorème des orbites-stabilisateurs^EN, le cardinal de l’orbite d’un élément $x$, notée $\mathcal{O}_x$, vérifie :
$$\#\mathcal{O}_x = \frac{\#G}{\#\text{Stab}(x)}$$Puisque $\#G = p^k$, le cardinal de l’orbite $\#\mathcal{O}_x$ divise $p^k$. C’est donc nécessairement une puissance de $p$ (de la forme $p^r$ avec $0 \leq r \leq k$).

4. Si $\#\mathcal{O}_x = 1$, alors $\mathcal{O}_x = \{x\}$. Cela signifie que pour tout $g \in G$, $g \cdot x = x$.
   C’est-à-dire : $\forall g \in G, gxg^{-1} = x \iff \forall g \in G, gx = xg \Longleftrightarrow x\in\mathcal{Z}(G)$.
   Donc $\#\mathcal{O}_x = 1 \iff x \in \mathcal{Z}(G)$.

5. L’ensemble $G$ est la réunion disjointe de ses orbites sous l’action de conjugaison.
   Soient $\mathcal{O}_{x_1}, \mathcal{O}_{x_2}, \dots, \mathcal{O}_{x_r}$ les orbites distinctes.
   La formule des classes s’écrit :
   $$\#G = \sum_{i=1}^r \#\mathcal{O}_{x_i}$$On sépare cette somme en deux : les orbites de cardinal $1$ (qui correspondent aux éléments de $\mathcal{Z}(G)$) et les orbites de cardinal strictement supérieur à $1$.
   $$\#G = \#\mathcal{Z}(G) + \sum_{\#\mathcal{O}_{x_i} > 1} \#\mathcal{O}_{x_i}$$De plus, pour toute orbite telle que $\#\mathcal{O}_{x_i} > 1$, on sait que $\#\mathcal{O}_{x_i}$ est une puissance de $p$ (donc de la forme $p^r$ avec $r \geq 1$). Par conséquent, pour ces orbites, $\#\mathcal{O}_{x_i} \equiv 0 \pmod p$.

En passant à l’équation modulo $p$, on obtient :
$$\#G \equiv \#\mathcal{Z}(G) + 0 \pmod p \implies \#\mathcal{Z}(G) \equiv 0 \pmod p$$car $G$ est un $p$-groupe. Ainsi le cardinal du centre est un multiple de $p$.
Or, on sait que $\mathcal{Z}(G)$ est un sous-groupe, donc il contient au moins l’élément neutre $e$. Ainsi, $\#\mathcal{Z}(G) \geq 1$.
On en déduit que $\#\mathcal{Z}(G) \geq p > 1$, ce qui conclut !