Collinear complex numbers

• Demander à ce que $z,z^{2}$ et $z^{5}$ soient alignés, c’est comme demander à ce que les vecteurs $z^{5}-z^{2}$ et $z^{2}-z$ soient colinéaires. C’est-à-dire, quand existe-t-il un réel $\lambda$ tel que $z^{5}-z^{2}=\lambda(z^{2}-z)$ ?

• Si on essaie de développer tout de suite, ça ne fonctionne pas tout à fait ; l’astuce ici est de factoriser le côté gauche de l’équation :
  $$z^{2}(z^{3}-1)=\lambda z(z-1).$$Or, on reconnaît là l’identité remarquable pour $z^{3}-1$. On obtient :
  $$z^{2}(z-1)(z^{2}+z+1)=\lambda z (z-1).$$Mettons de côté les cas $z=1$ et $z=0$. En simplifiant, on obtient :
  $$z^{3}+z^{2}+z=\lambda.$$Or, $\lambda$ est supposé réel ; donc
  $$\operatorname{Im}(z^{3}+z^{2}+z)=0.$$En posant $z=a+ib$ et en insérant cette expression dans $z^{3}+z^{2}+z$, on obtient, après calculs :
  $$\operatorname{Im}(z^{3}+z^{2}+z)=3a^{2}b-b^{3}+2ab+b=b(3a^{2}-b^{2}+2a+1)=0.$$Donc soit $b=0$, soit $3a^{2}-b^{2}+2a+1=0$.

• Les $z$ solutions sont donc dans
  $$S=\{a+ib\mid b=0\quad\text{ou}\quad b^{2}=3a^{2}+2a+1\}.$$Réciproquement, tout élément $z$ de $S$ vérifie bien que $z^{3}+z^{2}+z$ est réel, et donc $z,z^{2}$ et $z^{5}$ sont alignés.
  Notons que $z=1$ et $z=0$ écartés précédemment sont en fait bien inclus dans $S$.

• Donc l’ensemble des solutions est $S$ !

EDIT : @FiniteField a proposé l’image suivante en discussion : "Je trouve ça joli d’arriver à l’union d’une droite (qu’on pouvait prédire depuis le début) et d’une hyperbole plus surprenante."