Comment partager un segment en deux parties égales ?

Construire d’abord le point $C$ tel que le triangle $ABC$ soit équilatéral (pour cette construction, voir le problème Méthode pour construire un triangle équilatéral).

Construire ensuite la droite passant par $C$ qui coupe l’angle $\widehat {ACB}$ en deux angles égaux (pour cette construction voir problème Comment partager un angle en deux angles égaux ? ).
NB : il suffit dans notre cas de construire le point D en-dessous de $[AB]$ tel que le triangle $ABD$ soit équilatéral aussi.

Cette droite $(CD)$ coupe $AB$ en $E$.

Considérons maintenant les deux triangles $AEC$ et $CEB$. Ils ont deux côtés égaux deux à deux: $CE$ qui est commun aux deux et $AC=CB$ par construction du triangle équilatéral, et ils ont aussi un angle identique en $C$ par construction ($\widehat {ACE}=\widehat {ECB}$).
De cette configuration des deux triangles, on peut déduire que leurs troisièmes côtés $AE$ et $EB$ sont égaux aussi (pour la démonstration de ce point , voir problème Deux côtés avec leur angle suffisent-ils pour le triangle ?).

Donc $E$ est bien milieu de $AB$, ce qu’il fallait démontrer.