Comment partager un angle en deux angles égaux ?

Positionner d’abord un point quelconque $D$ entre $A$ et $B$.

Tracer le cercle de centre $A$ et de rayon $AD$ et construire le point $E$, intersection du cercle avec $(AC$). Nous avons donc : $AE=AD$

Construire ensuite un point F (à l’opposé de A par rapport à DE) tel que le triangle $DEF$ soit équilatéral (pour cette construction, voir problème Méthode pour construire un triangle équilatéral)

Considérons maintenant les deux triangles $ADF$ et $AEF$. Ils ont un côté commun $AF$ et leurs deux autres côtés sont égaux entre eux : $AD=AE$ comme vu ci-dessus, et $DF=EF$ par définition du triangle équilatéral. Dans cette configuration de deux triangles avec trois côtés égaux, nous pouvons prouver que ces deux triangles sont superposables et donc que tous leurs angles sont égaux deux à deux (pour la démonstration de ce point voir problème Trois côtés suffisent-ils pour définir le triangle ? ).

En particulier l’angle $\widehat {DAF}$ sera égal à l’angle $\widehat {EAF}$ , donc la droite $AF$ ainsi construite permet bien de coupler l’angle $\widehat {BAC}$ en deux angles égaux