Ivan Shishkin, Rye (1878)

Problems/Set theoryExerciseReviewed

Commutativité du produit cartésien ?

by Ancient Tree·
18
Difficulty scaleÉchelle de difficulté

This score reflects both the level of the required concepts and the difficulty of the solution.Ce score tient compte à la fois du niveau des notions nécessaires et de la difficulté de la résolution.

  1. 1–10First steps / middle schoolPremiers pas / collège
  2. 11–25Beginner / high schoolDébutant / lycée
  3. 26–50Intermediate / undergraduateIntermédiaire / licence
  4. 51–70Advanced / graduateAvancé / master
  5. 71–90Expert / specializedExpert / spécialisé
  6. 91–100Research levelNiveau recherche
These levels are approximate guides.Ces niveaux sont des repères approximatifs.
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On considère les ensembles A={Alice,Bob}A=\{\text{Alice},\text{Bob}\} et B={1,2}B=\{1,2\}.

Est-ce que les produits cartésiens A×BA\times B et B×AB\times A sont égaux ?

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Solution by Ancient Tree

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Vérifions : on a que
A×B={(Alice,1),(Alice,2),(Bob,1),(Bob,2)}A\times B=\{(\text{Alice}, 1),(\text{Alice}, 2),(\text{Bob}, 1),(\text{Bob}, 2)\}tandis que :
B×A={(1,Alice),(1,Bob),(2,Alice),(2,Bob)}.B \times A=\{(1, \text{Alice}),(1, \text{Bob}),(2, \text{Alice}),(2, \text{Bob})\}.

Est-ce que ces ensembles sont égaux ? Non, car par exemple, (Alice,1)(\text{Alice}, 1) est bien différent de (1,Alice)( 1,\text{Alice}) (l’ordre est important dans une paire !).

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