Connexité par arcs chez les matrices

$\hookrightarrow$ Les ensembles 1., 3. et 4. sont convexes donc connexes par arcs, cela se déduit directement de la définition de ces ensembles ainsi que de celle de la convexité.

$\hookrightarrow$ Ensuite, l’image d’un connexe par arc par une fonction $f$ continue est forcément connexe par arc, en effet, si $\gamma$ est un chemin continu qui relie deux points dans le premier ensemble, alors $f\circ\gamma$ est un chemin continu dans le second espace. Mais l’image par le déterminant, fonction continue car polynomiale, des ensembles $GL_n(\R)$ et $O_n(\R)$ vaut respectivement $\R^*$ et $\{-1,+1\}$ qui ne sont pas des connexes par arcs. Donc 2. et 5. ne sont pas connexes par arcs.

$\hookrightarrow$ Pour 6., on se ramène à montrer que toute isométrie se relie à l’identité par un chemin continu. Puis on utilise le théorème de réduction des isométries, ce qui nous ramène simplement au cas de la dimension $2$, où il suffit de montrer que toute matrice de rotation est reliable à l’identité $I_2$ par un chemin continu.
Or si on prend $\gamma\colon t\in[0,1]\longmapsto \begin{pmatrix}\cos(t\theta) & -\sin(t\theta) \\ \sin(t\theta) & \cos(t\theta)\end{pmatrix}$, c’est un chemin continu à valeur dans $SO_2(\R)$ reliant $\gamma(0)=I_2$ à $\gamma(1)=R_{\theta}$. Donc $SO_n(\R)$ est bien connexe par arcs.
On aurait aussi pu montrer ce résultat en montrant que $SO_n(\R)$ est l’image de l’espace des matrices antisymétriques, connexe par arcs, par l'exponentielle matricielle.

$\hookrightarrow$ Pour 7., on va montrer que $GL_n(\mathbb{C})$ est connexe par arcs. On peut par exemple le montrer en disant que l’image de l’ensemble des matrices complexes par l’exponentielle complexe est égal à $GL_n(\mathbb{C})$ mais on va le montrer plus élémentairement.
Prenons deux matrices $A$ et $B$ inversibles. On considère alors $P(z):=\mathrm{det}((1-z)A+zB)$. Ainsi le polynôme $P$ est non nul car $P(0)$ et $P(1)$ ne le sont pas et possède un nombre fini de racines noté $\mathcal{Z}(P),$ et ainsi $\mathbb{C}\backslash\mathcal{Z}(P)$ est connexe par arcs. Il existe ainsi un chemin continu $\Gamma$ liant $0$ à $1$ dans $\mathbb{C}\backslash\mathcal{Z}(P)$ tel que $\forall t\in[0,1],P(\Gamma(t))\neq0$ (vu que $A$ et $B$ sont inversibles on a bien que 0 et 1 sont dans $\mathbb{C}\backslash\mathcal{Z}(P)$). Ainsi en posant $\forall t\in[0,1],\,\gamma(t):=(1-\Gamma(t))A+\Gamma(t)B$, on a bien un chemin continu ne passant que par des matrices inversibles qui relie $A$ et $B$, d’où le résultat !