Construction à la règle et au compas de la moyenne géométrique de a et b.

Soient les points $A,B,C$ alignés, tels que $AC=a$, $CB=b$ . Notons que $AB=AC+CB$
Soit D l’intersection de la perpendiculaire à $AB$ en $C$ avec le demi-cercle de diamètre $AB$.
Cette construction vérifie bien les termes de l’énoncé.
Il faut montrer que $x^2=a*b$, autrement dit $CD^2= AC\times CB$

Le triangle inscrit $ADB$ est rectangle en $D$ et vérifie donc $AD^2+DB^2=(AC+CB)^2$ (1)
Le triangle $ACD$ est rectangle en $C$ donc $AD^2=AC^2+CD^2$ (2)
De même le triangle $BCD$ est rectangle en $C$ donc $DB^2=CB^2+CD^2$ (3)

En injectant (2) et (3) dans (1) on obtient : $AC^2+CD^2+CB^2+CD^2=AC^2+CB^2+2\times AC\times CB$

d’où $CD^2=AC\times CB$ CQFD

Ainsi construit, la longueur du segment CD représente donc bien la solution x qui vérifie x^2=a*b, donc représente bien la moyenne géométrique des deux longueurs a et b

NB : la démonstration est faite à la règle et au compas tel que demandé dans l’énoncé , et la règle n’a même pas besoin d’être graduée......

Soit $P$, $A$ et $B$ trois points alignés dans cet ordre tels que $PA=a$ et $PB=b$.

Traçons un cercle passant par $A$ et $B$ puis menons par $P$ une tangente au cercle en un point de tangence $M$. Alors, la puissance du point $P$ par rapport au cercle est égale à $\overline{PM}^{2}=\overline{PA}.\overline{PB}$ soit $x^{2}=ab$.

A noter que tracer un cercle passant par deux points et tracer une tangente à un cercle passant par un point ne nécessite que le compas et une règle non graduée d’où la solution.