Construction de la spirale de Theodore

La spirale de Théodore est une reconstruction hypothétique d’une figure géométrique à partir du texte célèbre de Platon, le Théétète (voir le problème à ce sujet).
Cette construction permettait peut-être, en Grèce antique, de déterminer géométriquement les racines carrées des premiers nombres. Nous allons nous arrêter ici au nombre 17 car dans le texte de Platon, il indique que le mathématicien Théodore s’est arrêté à 17.

A vos règles et compas...

Tracer un triangle rectangle dont les deux côtés de l’angle droit mesurent 1.
Quelle est la longueur de l’hypoténuse ? Donner la valeur exacte et la valeur approchée (1 décimale).
A partir de cette hypoténuse, construire un nouveau triangle rectangle dont un des côtés est l’hypoténuse précédente et l’autre est de longueur 1.
Quelle est la longueur de la nouvelle hypoténuse ? Donner la valeur exacte et la valeur approchée (1 décimale).
Répéter la même opération jusqu’à obtenir 16 triangles.
Quelle est la longueur de la dernière hypoténuse ? Donner la valeur exacte et la valeur approchée (1 décimale).
Jusqu’où pourrait se poursuivre cette construction ?

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Solution by goldfinch

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$\sqrt{2}=1.4$
$\sqrt{3}=1.7$
$\sqrt{17}=4.1$
La construction pourrait se poursuivre indéfiniment, permettant ainsi de déterminer géométriquement n’importe quelle racine carrée.

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