Density and convexity

Comme énoncé dans l’indication $2$, on considère un élément $x$ de $\R^d$. On note aussi $e_i$ le $i$-ème vecteur de la base canonique de $\R^d$.
On considère l’application qui a $2d$ points $x_1,\dots,x_{2d}$ associe les $2d$ aires orientées (donc le déterminant) des $d+1$ gones formés par $x,x_i, \dots, x_{i+d}$ (indices pris modulo $2d$. Cette application est continue car le déterminant l’est. On peut ainsi considérer $\frac12>\varepsilon>0$ et $\delta>0$ associé tel qu’une variation de $\delta$ des $2d$ points $x_i:=x+e_i, x_{d+i}:=x-e_i$ ne changera pas de plus de $\varepsilon$ le quadruplet des aires précisées plus haut. Notons d’ailleurs que ces aires valent toutes $\frac12$ dans ce cas particulier, d’où le choix de $\varepsilon$.

Considérons ainsi $y_1,\dots,y_{2d}$ dans $A$, partie dense de $\R^d$, qui approchent respectivement $x_1,\dots,x_{2d}$ à $\delta$ près. Ainsi, par ce qu’on a expliqué plus haut, les déterminants des aires des $d+1$ formés par $x, y_i,\dots,y_{i+d}$ ne varient pas plus d'$\varepsilon$ par rapport aux aires des $2d$ gones formés avec les $x_i$ plus haut. En particulier, ces aires orientées sont toujours positives.
On en conclut que $x$ se situe toujours à droite des polygones issues des hyperplans affines contenant $x_i,\dots,x_{i+d}$.
En particulier, $x$ appartient au polygone de sommets $y_1,\dots,y_{2d}$ (soit leur enveloppe convexe) qui appartient à $A$ car $A$ est une partie convexe de $\R^d$.

Enfin, $x$ est considéré quelconque donc $A=\R^d$. La réciproque étant évidente car $\R^d$ est convexe et dense dans lui-même, cela conclut.

On peut en effet procéder par récurrence, et montrer que les parties denses et convexes de $\mathbb{R}^d$ sont $\mathbf{totales}$.

Dans le cas où $d = 1$, les parties convexes sont exactement les intervalles. Si un intervalle est dense, il est nécessairement total. En effet, soit $I$ un intervalle dense, et $x \in \mathbb{R}$. Comme $I$ est dense, $]-\infty,x[ \cap I$ n’est pas vide, de même pour $I \cap ]x , +\infty [$. Il existe ainsi $y$ et $z$ dans $I$ tels que $y < x < z$. Puisque $I$ est un intervalle, $x \in I$. Ceci montre le résultat pour $d = 1$.

Soit $d \geq 1$ tel que l’on a montré que les parties denses de $\mathbb{R}^{d}$ sont totales. Par isomorphisme bicontinu, c’est aussi vrai pour tout $\mathbb{R}$-espace vectoriel normé de dimension finie égale à $d$. Montrons que c’est vrai pour $\mathbb{R}^{d+1}$. Soit $D$ une partie convexe et dense de $\mathbb{R}^{d+1}$. Soit $H$ un hyperplan de $\mathbb{R}^{d+1}$. Il est clair que $H \cap D$ est convexe. Si on a montré que $H \cap D$ est dense dans $H$, alors $H \cap D = H$ (par l’hypothèse de récurrence), ce qui implique directement que $D = \mathbb{R}^{d+1}$.

Montrons que $D \cap H$ est dense dans $H$. Puisque $H$ est le noyau d’une forme linéaire (continue) $\phi$, on peut donc écrire $\mathbb{R}^{d+1} = \phi^{-1}(]-\infty,0[) \sqcup H \sqcup \phi^{-1}(]0,+\infty[)$. Soit $x \in H$, $\varepsilon > 0$, et $B$ la boule ouverte de centre $x$ et de rayon $\varepsilon$. Par densité de $D$, il existe $y$ et $z$ dans $B \cap D$ tels que $\phi(y) < 0$ et $\phi(z) > 0$. Soit $\gamma$ le segment qui relie $y$ à $z$. Par le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un réel $0 <t<1$ tel que $\phi(\gamma(t)) = 0$. On déduit alors que le segment $\gamma$ rencontre $H$ en un point $w$, mais puisque $D$ est convexe, $w \in D$. Comme $B$ est convexe, $w \in B$, ainsi il existe un point de $D \cap H$ qui est aussi dans $B$, et $D \cap H$ est dense dans $H$.