Dérivation et permutations de $\mathbb N$

Soit $\sigma$ une permutation de $\mathbb N$. On appelle $\sigma$-solution toute famille $(y_n)_{n\in\mathbb N}$ de fonctions dérivables de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$ telle que
$$y_n' = y_{\sigma(n)} \qquad \text{pour tout } n\in\mathbb N.$$Une $\sigma$-solution est dite non nulle si l’une au moins de ses fonctions n’est pas identiquement nulle.
Déterminer, en fonction de $\sigma$, s’il existe une $\sigma$-solution non nulle formée

• (a) de fonctions polynomiales ;
• (b) de fonctions bornées sur $\mathbb R$ ;
• (c) de fonctions intégrables sur $\mathbb R$ ;
• (d) de fonctions à support compact.