Ivan Shishkin, Rye (1878)

Des exemples de groupes ?

by Ancient Tree·

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Parmi les exemples suivants, lesquels sont des groupes ?

L’ensemble des entiers naturels $\N$ muni de l’addition
L’ensemble des réels strictement positifs $\R_{+}^{*}$ muni de la multiplication
L’ensemble des entiers relatifs impairs $2\Z+1$ muni de l’addition.

Pour les groupes, déterminer l’élément neutre.
Pour les autres, déterminer quel axiome de la définition d’un groupe n’est pas vérifié.

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Solution by Tagratata

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$\mathbb{N}$ muni de l’addition n’est pas un groupe car tout ses éléments (hormis 0) ne possèdent pas de symétrique dans $\mathbb{N}$ (ex: Le symétrique par l’addition de 1 est -1 qui n’est pas un entier naturel)
$\mathbb{R}^{*}_{+}$ muni de la multiplication est un groupe d’élément neutre $1$
L’ensemble des entiers relatifs impaires muni de l’addition n’est pas un groupe car il manque la stabilité par addition (ex: $3+3=6$ qui est paire)

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