Des saut(erelle)s

Notons $x$ le nombre de sauts de 11 cm, et $y$ le nombre de sauts de 17 cm. On cherche donc à résoudre l'équation diophantienne :
$$11 x+17 y=9.$$C’est normalement une équation qu’on résout avec le théorème de Bézout. Cependant, on cherche à trouver une solution $(x,y)$ telle que $|x|+|y|$ est minimal, ce que je n’ai pas réussi à faire comme ça.

Une autre approche sympathique : on peut regarder l’équation ci-dessus modulo 17. Ca donne :
$$11x\equiv 9\; \text{mod}\;17.$$Or, l’inverse de 11 modulo 17 est 14 (ce qu’on peut trouver avec l'algorithme d’Euclide étendu), puisque :
$$11\times 14=154=17\times 9+1\equiv 1\; \text{mod}\;17.$$Ainsi, en multipliant notre équation par 14, on obtient :
$$x\equiv 9\times 14\equiv 126 \equiv 7\;\text{mod}\;17.$$

Ainsi, $x$ est congru à 7 modulo 17, ce qui restreint beaucoup les possibilités ; comme on cherche à minimiser $|x|+|y|$, il semble naturel de chercher si $x=7$ conviendrait.

Mais alors en revenant à l’équation initiale, on obtient $11\times 7+17y=9$, et on aboutit à $y=-4$.
La solution $(7,-4)$ fonctionne, et minimise bien $|x|+|y|$ (puisque $x=7$ force $y=-4$, et un autre choix de $x$ donnerait déjà $|x|+|y|>17)$.

Ainsi, le nombre minimal de sauts est $7+4=11$.