Description par les courbes de l'espace tangent du cercle

On considère le cercle unité $S^{1}=\{(x,y)\in \R^{2}\mid x^{2}+y^{2}=1\}$ et $p\in S^{1}$ .

Soit une courbe lisse $\gamma:[-1,1]\to S^{1}$ telle que $\gamma(0)=p$ .
Montrer que le vecteur vitesse de $\gamma$ en $0$ est orthogonal à $p$ .
Réciproquement, montrer que tout vecteur orthogonal à $p$ est le vecteur vitesse en $0$ d’une courbe tracée sur le cercle et passant par $p$ en $0$ .
En déduire une description de l'espace tangent $T_{p}S^{1}$ .

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Solution by Ancient Tree

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Par définition, le vecteur vitesse est $\gamma'(t)$ .
Comme la courbe est tracée sur le cercle, on a $\|\gamma(t)\|=1$ . En écrivant ceci avec le produit scalaire : $\langle\gamma(t),\gamma(t)\rangle =1$ .
En dérivant, on obtient :
$\langle \gamma'(t),\gamma(t) \rangle = 0$ et en évaluant ceci en $t=0$ , on obtient que $\langle \gamma'(0),p\rangle=0$ .
Soit $v$ un vecteur orthogonal à $p$ . Sans parler du cercle pour l’instant, comment créer une courbe ayant pour vecteur vitesse $v$ et passant par $p$ à $t=0$ ? On peut avoir l’idée de la courbe $\alpha(t)=p+tv$ . Bien sûr, le problème est qu’il n’y a aucune garantie que $\alpha$ soit sur le cercle.
On peut donc normaliser : on pose
$\gamma(t)=\frac{\alpha(t)}{\|\alpha(t)\|}$ et on vérifie que cette courbe a toutes les propriétés souhaitées.

Vérification

$\gamma$ est bien une courbe du cercle.
Elle passe par $p$ en $0$ : en effet,
$\gamma(0)=\frac{\alpha(0)}{\|\alpha(0)\|}=\frac{p}{\|p\|}=p.$
Son vecteur vitesse en $0$ est $v$ : c’est parti pour la dérivation. Mais d’abord, petite simplification sur la norme :
$\|\alpha(t)\|=\sqrt{1+t^{2}\|v^{2}\|}$ en ayant utilisé le théorème de Pythagore, comme $p$ et $tv$ sont orthogonaux ; en dérivant le quotient $\gamma(t)=\frac{\alpha(t)}{\|\alpha(t)\|}$ , on finit par obtenir :
$\gamma^{\prime}(t)=\frac{v}{\sqrt{1+t^2\|v\|^2}}-\frac{t\|v\|^2(p+t v)}{\left(1+t^2\|v\|^2\right)^{3 / 2}}$ et évalué en $t=0$ , on obtient miraculeusement $\gamma'(0)=v$ .

On vient de montrer une propriété remarquable : les vecteurs tangents au cercle en un point sont exactement les vecteurs vitesses des courbes lisses tracées sur le cercle et passant par ce point.
On peut donc décrire l’espace tangent au cercle en $p$ comme :

$T_pS^1=\{\gamma'(0)\mid \gamma:[-1,1]\to S^1\text{ lisse},\ \gamma(0)=p\}.$

Et l’intérêt ? Sur une variété abstraite (c’est-à-dire, pas une variété toute simple comme une cercle qui est plongé dans le plan $\R^{2}$ , ou une sphère qui est plongée dans l’espace $\R^{3}$ ), la notion de vecteur tangent est difficile à définir. En revanche, la notion de courbe et celle de vecteur vitesse dans des coordonnées locales sont bien définies sur toutes les variétés. La caractérisation obtenue dans cet exercice illustre donc la définition d’espace tangent par les courbes.

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