Déterminant d’une somme $=$ Somme des déterminants ?

$\hookrightarrow$ Si $n=1$, chaque matrice est un scalaire donc son déterminant est égal à lui même. Ainsi $S=\mathfrak{M}_1(\mathbb{C})\simeq\mathbb{C}$ tout entier car l’égalité sur les déterminants est toujours vraie.

$\hookrightarrow$ Maintenant on prend $n\geqslant2$ et $A\in S$. Notons déjà que $S$ n’est pas vide car il contient la matrice nulle.
Pour $X:=A$ (toujours prendre des choix simples de matrices pour faire des tests), on a $2^n\det(A)=\det(A+X)=\det(A)+\det(X)=2\det(A)$. Et $n>1$ donc $\det(A)=0$ et $A$ n’est alors pas inversible.

Ainsi l’équation se récrit $\det(A+X)=\det(X)$ sachant que $\det(A)=0$.

On note alors $r$ le rang de $A$. Par le théorème de caractérisation des matrices à rang fixé, il existe deux matrices inversibles $P$ et $Q$ telles que $A=PJ_rQ$. L’idée est alors de trouver une matrice non-inversible $X$ telle que $A+X$ est inversible. Ainsi $X:=P(I_n-J_r)Q$ convient si $n>r>0$. Cela nous donne alors $0=\det(X)=\det(A+X)=\det(P (J_r+I_n-J_r) Q)=\det(PQ)\neq0$, d’où une contradiction. Ainsi $r=0$ donc $A=0$ et $S=\{0\}$.