Déterminant d'une somme $=$ Somme des déterminants ?

Soit $S:=\{A\in\mathfrak{M}_n(\mathbb{C}) / \forall X\in\mathfrak{M}_n(\mathbb{C}), \det(A+X)=\det(A)+\det(X)\}$ l’ensemble des matrices rendant le déterminant linéaire.
Déterminer $S$ pour $n=1$ puis pour $n\geqslant2$ .

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Solution by Sequoia

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$\hookrightarrow$ Si $n=1$ , chaque matrice est un scalaire donc son déterminant est égal à lui même. Ainsi $S=\mathfrak{M}_1(\mathbb{C})\simeq\mathbb{C}$ tout entier car l’égalité sur les déterminants est toujours vraie.

$\hookrightarrow$ Maintenant on prend $n\geqslant2$ et $A\in S$ . Notons déjà que $S$ n’est pas vide car il contient la matrice nulle.
Pour $X:=A$ (toujours prendre des choix simples de matrices pour faire des tests), on a $2^n\det(A)=\det(A+X)=\det(A)+\det(X)=2\det(A)$ . Et $n>1$ donc $\det(A)=0$ et $A$ n’est alors pas inversible.

Ainsi l’équation se récrit $\det(A+X)=\det(X)$ sachant que $\det(A)=0$ .

On note alors $r$ le rang de $A$ . Par le théorème de caractérisation des matrices à rang fixé, il existe deux matrices inversibles $P$ et $Q$ telles que $A=PJ_rQ$ . L’idée est alors de trouver une matrice non-inversible $X$ telle que $A+X$ est inversible. Ainsi $X:=P(I_n-J_r)Q$ convient si $n>r>0$ . Cela nous donne alors $0=\det(X)=\det(A+X)=\det(P (J_r+I_n-J_r) Q)=\det(PQ)\neq0$ , d’où une contradiction. Ainsi $r=0$ donc $A=0$ et $S=\{0\}$ .

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