Deux angles et un côté suffisent-ils pour définir un triangle ?

Nous allons considérer deux configurations différentes, la première pour laquelle le côté de longueur égale est celui portant les deux angles égaux un à un, et la seconde pour laquelle le côté de longueur égale n’est pas le côté portant les angles égaux un à un.

1. $\textbf{Première configuration}$ : $\widehat {ABC}=\widehat {DEF}$ et $\widehat {BCA}=\widehat {EFD}$ et $BC=EF$

Effectuons un raisonnement par l’absurde, en supposant que $BA>ED$.

Construisons alors le point $G$ sur $AB$ tel que $BG=ED$ (pour cette construction, voir le problème Comment reporter une longueur en un point).

Considérons maintenant les deux triangles $BGC$ et $EDF$. Ils ont deux côtés égaux deux à deux $BG=ED$ par construction et $BC=EF$ par hypothèse, et un angle égal $\widehat {ABC}=\widehat {DEF}$ . Ceci permet de conclure à l’égalité des deux triangles, de tous les côtés un à un et de tous les angles un à un (pour la démonstration de ce point, voir problème Deux côtés avec leur angle suffisent-ils pour le triangle ?. Nous en concluons donc en particulier que $\bf\widehat {BCG}=\widehat {EFD}=\widehat {BCA}$.

Mais l’angle $\widehat {BCG}$ est une partie de $\widehat {BCA}$ donc : $\bf\widehat {BCG}<\widehat {BCA}$ , ce qui est incompatible avec l’égalité exprimée ci-dessus.

2. $\textbf{Deuxième configuration}$ : $\widehat {ABC}=\widehat {DEF}$ et $\widehat {BCA}=\widehat {EFD}$ et $BA=ED$ (l’autre configuration où $AC=DF$ pourra être traitée exactement de la même façon)

Effectuons là aussi un raisonnement par l’absurde, en supposant que BC>EF.

Construisons le point $H$ sur $BC$ tel que $BH=EF$.

Considérons maintenant les deux triangles $ABH$ et $DEF$. Ils ont deux côtés égaux deux à deux $BA=ED$ par hypothèse et $BH=EF$ par construction, et un angle égal $\widehat {ABC}=\widehat {DEF}$ . Ceci permet de conclure à l’égalité des deux triangles, de tous les côtés et de tous les angles. Nous en concluons donc en particulier que $\bf\widehat {BHA}=\widehat {EFD}=\widehat {BCA}$.

Considérons maintenant le petit triangle AHC. Nous pouvons montrer que l’angle $\widehat {BHA}$ , qui est extérieur au triangle AHC, est toujours plus grand que l’angle à l’opposé $\widehat {BCA}$ (pour la démonstration de ce point, voir problème Un côté du triangle se prolonge... et l’angle extérieur ? ), donc $\bf\widehat {BHA}>\widehat {BCA}$ . Cette inégalité est incompatible avec l’égalité exprimée précédemment.

$\textbf{Conclusion}$ : pour les deux configurations, nous avons constaté une contradiction, donc les deux triangles sont bien identiques, en considérant tous les côtés un à un et tous les angles un à un.