Un côté du triangle se prolonge... et l’angle extérieur ?

1. Construire $E$ le milieu de $AC$ (pour cette construction, voir le problème Comment partager un segment en deux parties égales ? Les traits de construction ont été laissés en arrière-plan des figures ci-dessous).
   Construire au compas le point $F$ sur la droite $(BE)$ tel que $BE=EF$.

Considérons les deux triangles $AEB$ et $CEF$.
Les deux côtés $AE$ et $BE$ du premier triangle sont égaux respectivement à $EC$ et $EF$ du deuxième triangle, ceci par construction, et les deux angles au sommet E sont égaux, soit $\widehat {AEB}=\widehat{CEF}$ (pour la démonstration de ce point, voir le problème Deux droites se coupent... que font les angles opposés ?)
Deux triangles ayant à la fois deux côtés respectivement égaux et aussi deux angles égaux sont superposables, et auront donc leurs autres angles respectivement égaux (pour démontrer ce point, voir le problème Deux côtés avec leur angle suffisent-ils pour le triangle ?).

Ainsi, en particulier, l’angle $\widehat{BAC}$ est égal à l’angle $\widehat{ECF}$ qui, lui, est une partie de $\widehat{ACD}$ , donc $\widehat {ACD}>\widehat {BAC}$, ce qui était le premier point à démontrer.

2. Pour montrer que $\widehat {ACD}>\widehat {ABC}$ , nous allons procéder de même façon que ci-dessus, en construisant d’abord $H$ milieu de $BC$, et $I$ sur la droite $(AH)$ tel que $AH=HI$.

Considérons les deux triangles $ABH$ et $HCI$ .
Les deux côtés $AH$ et $BH$ sont égaux respectivement à $HI$ et $HC$ par construction, et les deux angles au sommet $H$ sont égaux $BHA=IHC$.

Deux triangles ayant deux côtés respectivement égaux avec leurs deux angles correspondants, égaux, auront aussi leurs autres angles respectivement égaux. Ainsi, en particulier, l’angle $\widehat{ABH}$ est égal à l’angle $\widehat{HCI}$.

Or l’angle $\widehat{HCI}$ est égal à son angle opposé au sommet $\widehat{FCD}$ et $\widehat{FCD}$ est une partie de l’angle $\widehat{ACD}$. Donc $\widehat{ABH}$ est une partie de $\widehat{ACD}$ , d’où $\widehat {ACD}>\widehat {ABC}$, ce qui était le second point à démontrer.

Comme les points B, C et D sont alignés, $\widehat{BCA} + \widehat{ACD}=180\degree$.
De plus la somme des angles d’un triangle fait 180 degrés. Donc $\widehat{BAC}+\widehat{BCA}+\widehat{ABC}=180\degree$.
Donc $\widehat{ACD}=\widehat{BAC}+\widehat{ABC}$. En particulier $\widehat{ACD}$ est plus grand que $\widehat{BAC}$ et $\widehat{ABC}$.