Deux droites se coupent... que font les angles opposés ?

Lorsqu’une droite - ici $(CD)$ - coupe une autre droite - ici $(AB)$ - en un point - ici $E$, les angles adjacents et supplémentaires - ici $\widehat {AEC}$ et $\widehat {CEB}$ - ont une somme égale à la somme de deux angles droits (pour cette démonstration, voir le problème Une droite placée sur une autre... et les angles ?).
Ceci est également valable si on considère $(AB)$ qui coupe (CD) : la somme des angles $\widehat {DEB}+\widehat {CEB}$ est égale à la somme de deux angles droits.
Ainsi il y a égalité entre les deux sommes : $\widehat {AEC}+\widehat {CEB}= \widehat {DEB}+\widehat {CEB}$, d’où l’on tire $\widehat {AEC}=\widehat {DEB}$, ce qu’il fallait démontrer. Le raisonnement est analogue pour les deux autres angles : $\widehat {AED}=\widehat {CEB}$ .

Les sommes $\widehat {DEB}+\widehat {CEB}$ et $\widehat {AEC}+\widehat {CEB}$ sont chacune égales à la somme de 2 angles droits donc la somme des 4 angles autour du sommet E est égale à la somme de 4 angles droits.