Deux côtés d’un triangle réunis… que valent-ils face au troisième ?

Soit un triangle ABC. Nous allons prendre d’abord les deux côtés $AB$ et $AC$ et montrer que la somme de $AB$ et $AC$ est supérieure à $BC$ : $\bf AB+AC>BC$.

Construisons le point $D$ sur la droite $(AB)$ tel que $AD=AC$ (Un simple cercle de centre A et de rayon $AC$ suffit pour déterminer le point D à l’intersection du cercle avec $(AB)$).

Le triangle ACD est donc isocèle en A. Il en découle qu’il y a égalité des mesures des angles $\widehat {ADC}$ et $\widehat {ACD}$ (pour démontrer ce point voir le problème Un triangle avec deux côtés égaux ... et les angles ?), soit : $\bf\widehat {ADC}=\widehat {ACD}$ (1).

Par ailleurs, notons que $\widehat {ACD}$ est une partie de $\widehat {BCD}$ donc $\bf\widehat {BCD}>\widehat {ACD}$.

Cette inégalité couplée avec (1) nous donnera donc : $\bf\widehat {BCD}>\widehat {ADC}$. (2)

L’inégalité (2) entre les mesures des angles implique l’inégalité des côtés opposés à ces angles (pour la démonstration de ce point voir le problème Un triangle, des angles inégaux... et les côtés ?), soit : $\bf BD>BC$ (3).

Or $BD=BA+AD$, et comme AD=AC par hypothèse , on a aussi $BD=AB+AC$, donc avec (3), on a bien $\bf AB+AC>BC$, ce que nous voulions montrer.

On pourra démontrer avec la même démarche que n’importe laquelle des paires de deux côtés montrera cette même propriété d’avoir sa somme des longueurs supérieure à la longueur du troisième côté.