Soit un triangle isocèle en , dont les côtés égaux et sont chacun prolongés jusqu’en et . Montrer à la règle et au compas collapsible que les angles et sont égaux, et que les angles et sont égaux.
References
- Euclide — Éléments
Solutions
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Solution by goldfinch
- Construire le point sur tel que (pour le détail de cette opération voir le problème Comment reporter une longueur sur un segment ).
- Considérons les deux triangles et .
Ces deux triangles ont le même angle en A et ont leurs deux côtés, à partir de A, égaux deux à deux : par hypothèse et car le triangle ABC est isocèle.
Ceci permet de démontrer d’une part que les troisièmes côtés respectifs des deux triangles ont aussi même longueur : (1) , et d’autre part que les deux autres angles des deux triangles sont égaux deux à deux aussi (pour le détail de cette démonstration, voir le problème Deux côtés avec leur angle suffisent-ils pour le triangle ? ), donc (2) et (3)
Considérons maintenant les 2 triangles et .
Nous pouvons faire exactement le même raisonnement qu’au point 2 en considérant d’une part l’égalité des angles (3) démontrée précédemment, et d’autre part les égalités des deux longueurs entre elles : par hypothèse et (1) comme démontré précédemment .
On peut ainsi démontrer l’égalité des deux autres angles entre eux (pour le détail de cette démonstration, voir le problème Deux côtés avec leur angle suffisent-ils pour le triangle ? ) : (4) et , cette dernière égalité étant le second point à démontrer.En utilisant les deux relations d’égalité d' angles (2) et (4), on en déduit que , ce qui constitue le premier point qu’il fallait démontrer.
