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Solution

Solution by goldfinch · FR

Construire le point $F$ sur $AE$ tel que $AD=AF$ (pour le détail de cette opération voir le problème Comment reporter une longueur sur un segment ).

Considérons les deux triangles $ACD$ et $ABF$ .
Ces deux triangles ont le même angle en A et ont leurs deux côtés, à partir de A, égaux deux à deux : $AD=AF$ par hypothèse et $AB=AC$ car le triangle ABC est isocèle.
Ceci permet de démontrer d’une part que les troisièmes côtés respectifs des deux triangles ont aussi même longueur : $BF=CD$ (1) , et d’autre part que les deux autres angles des deux triangles sont égaux deux à deux aussi (pour le détail de cette démonstration, voir le problème Deux côtés avec leur angle suffisent-ils pour le triangle ? ), donc $\widehat {ABF}=\widehat {ACD}$ (2) et $\widehat {ADC}=\widehat {AFB}$ (3)

Considérons maintenant les 2 triangles $BDC$ et $BFC$ .
Nous pouvons faire exactement le même raisonnement qu’au point 2 en considérant d’une part l’égalité des angles $\widehat {ADC}=\widehat {AFB}$ (3) démontrée précédemment, et d’autre part les égalités des deux longueurs entre elles : $BD=CF$ par hypothèse et $BF=CD$ (1) comme démontré précédemment .
On peut ainsi démontrer l’égalité des deux autres angles entre eux (pour le détail de cette démonstration, voir le problème Deux côtés avec leur angle suffisent-ils pour le triangle ? ) : $\widehat{BCD}=\widehat{CBF}$ (4) et $\bm {\widehat{CBD}=\widehat{BCF}}$ , cette dernière égalité étant le second point à démontrer.
En utilisant les deux relations d’égalité d' angles (2) et (4), on en déduit que $\bm {\widehat{ABC}=\widehat{BCA}}$ , ce qui constitue le premier point qu’il fallait démontrer.