Un triangle, des angles inégaux... et les côtés ?

Soit un triangle $ABC$ dont l‘angle $\widehat {BAC}$ est plus grand que l’angle $\widehat {ACB}$ .

Montrer que le côté $BC$ , qui soutient l’angle $\widehat {BAC}$ , est plus grand que le côté $AB$ qui soutient l’angle $\widehat {ACB}$

NB : dans le vocabulaire d’Euclide, le côté qui soutient un angle est celui qui est opposé à l’angle, autrement dit celui qui ne le touche pas.

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Livre 1 - Proposition 19

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Solution by goldfinch

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Rappelons que par hypothèse $\widehat {BAC}>\widehat {ACB}$ (1)

Il faut montrer que le côté $BC$ qui soutient $\widehat {BAC}$ est plus grand que le côté AB qui soutient $\widehat {ACB}$ , donc que $BC>AB$ .

Il suffit pour cela, par un raisonnement par l’absurde, de montrer que $BC$ ne peut être ni égal, ni inférieur à $AB$ .

$BC$ ne peut être égal à AB, car sinon le triangle $ABC$ serait isocèle en $B$ , et donc cela impliquerait que les mesures des deux angles $\widehat {BAC}$ et $\widehat {ACB}$ seraient égales (pour démontrer ce point voir le problème Un triangle avec deux côtés égaux ... et les angles ?).
Ceci est en contradiction avec l’hypothèse (1).
$BC$ ne peut être inférieur à $AB$ , car s’il était plus petit, alors la mesure de l’angle $\widehat {BAC}$ serait plus petite que la mesure de l’angle $\widehat {ACB}$ (pour démontrer ce point, voir le problème [Un triangle, des côtés inégaux... et les angles ?).
Ceci est à nouveau en contradiction avec l’hypothèse (1).

Donc on a bien $BC>AB$ , ce qu’il fallait démontrer.

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