Un triangle, des côtés inégaux... et les angles ?

Soit un triangle $ABC$ dont le côté $AC$ est plus grand que le côté $AB$ .

Montrer que la mesure de l’angle $\widehat {ABC}$ , opposé au côté plus grand $AC$ , est plus grande que celle de l’angle $\widehat {ACB}$ , opposé au côté plus petit $AB$ .
Généraliser en montrant que l’ordre décroissant des longueurs des côtés d’un triangle implique l’ordre décroissant des mesures des angles opposés à ces côtés, et qu’ainsi les trois angles d’un triangle scalène sont de mesure différente.

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Euclide — Éléments

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Livre 1 - Proposition 18

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Solution by goldfinch

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Considérons d’abord les deux côtés $AB$ et $AC$ avec $AC>AB$ .

Construire le point $D$ sur $[AC]$ tel que $AD=AB$ (un simple cercle de centre A et de rayon AB suffit pour construire ce point).
Le triangle $ABD$ est donc isocèle en A. Par conséquent les deux angles $\widehat {ABD}$ et $\widehat {ADB}$ sont de mesure égale : $\bf\widehat {ABD}=\widehat {ADB}$ (1)
(pour démontrer ce point, voir problème Un triangle avec deux côtés égaux ... et les angles ? ).

Considérons maintenant le triangle $BDC$ . Nous pouvons montrer que la mesure de son angle extérieur $\widehat {ADB}$ est supérieure à celle de l’angle opposé intérieur $\widehat {BCD}$ :
$\bf\widehat {ADB}>\widehat {BCD}$ (2).
(pour démontrer ce point, voir problème Un côté du triangle se prolonge... et l’angle extérieur ?).

Or l’angle $\widehat {ABD}$ est une partie de $\widehat {ABC}$ , donc $\widehat {ABC}>\widehat {ABD}$ . Avec (1), on en déduit donc que $\bf\widehat {ABC}>\widehat {ADB}$ .
En couplant cette inégalité avec l’inégalité (2), on en déduit que $\bf\widehat {ABC}>\widehat {BCA}$ , ce qu’il fallait démontrer.

Pour généraliser, il suffit d’effectuer le raisonnement ci-dessus encore deux fois, une première fois avec la paire de côtés constituée par le côté le plus grand (ici $AC$ ) et le côté de longueur intermédiaire (ici $BC$ ), puis une deuxième fois avec la paire de côtés constituée par le côté de longueur intermédiaire (ici $BC$ ) et le le côté le plus petit $AB$ , pour aboutir aux inégalités de mesures d’angles suivantes : $\bf\widehat {ABC}>\widehat {BAC}>\widehat {ACB}$ .

Enfin , étant données les inégalités précédentes, on peut donc aussi en conclure que pour un triangle scalène, dont les trois côtés sont donc de longueur différente par définition, les trois angles seront aussi de mesure différente.

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