Deux parallélogrammes : bases de même longueur, même aire

Soient 2 parallélogrammes $ABCD$ et $EFHG$ qui ont, d’une part, des bases de longueur commune $BC=GH$ , et, d’autre part, sont construits entre les mêmes parallèles $(AF)$ et $(BH)$ .

Montrer que les aires des deux parallélogrammes sont égales : $\bf [ABCD]=[EFHG]$

NB : afin de rester fidèles à l’esprit de la démarche d’Euclide, nous utiliserons la notation $[ABCD]$ pour désigner l’aire d’un parallélogramme $ABCD$ et, de même, $[ABC]$ pour l’aire d’un triangle $ABC$ .

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Euclide — Éléments

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Livre 1 - Proposition 36

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Solution by goldfinch

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Le mouvement général de la démonstration consiste à utiliser un parallélogramme intermédiaire, $BEFC$ , comme passerelle pour montrer l’égalité entre les deux aires des deux parallélogrammes de l’énoncé.

Considérons d’abord le parallélogramme $EFHG$ . Par hypothèse : $\bf GH=BC$ (1)
Or, dans un parallélogramme, les côtés opposés ont la même longueur (pour la démonstration de ce point, voir le problème Un parallélogramme coupé en deux), donc $\bf GH=EF$ (2)
De (1) et (2) on déduit : $\bf EF=BC$ (3)

Par hypothèse les droites $(BC)$ et $(EF)$ sont parallèles, ce qui, couplé avec (3) permet de montrer d’une part qque $BE=CF$ et d’autre part que $(BC)$ et $(EF)$ sont parallèles (pour la démonstration de ce point, voir le problème Le parallélisme qui se transmet).
$EBCF$ est donc bien un parallélogramme aussi.

Le parallélogramme $EBCF$ a une base commune $[BC]$ avec le parallélogramme $ABCD$ et il est construit entre les mêmes parallèles : les aires des deux parallélogrammes sont donc égales (pour la démonstration de ce point, voir le problème Deux parallélogrammes : même base, même aire) : $\bf [ABCD]=[EFCB]$ (4)

Enfin, le parallélogramme $EFHG$ et le parallélogramme $EFCB$ ont eux aussi une base commune $[EF]$ et sont construits entre les mêmes parallèles, par hypothèse. Donc, là aussi, nous pouvons prouver de la même façon que les deux parallélogrammes ont la même aire (pour la démonstration de ce point, voir le problèmeDeux parallélogrammes : même base, même aire) : $\bf [EFCB]=[EFHG]$ (5)

Le couplage de (4) et (5) nous donne : $\bf [ABCD]=[EFHG]$ , ce qu’il fallait démontrer

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