Le parallélisme qui se transmet

Considérons la droite $(BC)$ comme une sécante qui coupe les deux droites parallèles $(AC)$ et $(BD)$. Les angles $\widehat {ACB}$ et $\widehat {CBD}$ sont alors des angles alternes-internes. Ainsi, vu que $(AC)$ et $(BD)$ sont parallèles, les deux angles seront forcément égaux (pour la démonstration de ce point, voir le problème Des parallèles aux angles), soit :
$\bf \widehat {ACB}=\widehat {CBD}$ (1)

Considérons maintenant les deux triangles $ABC$ et $BCD$. Ils ont deux côtés égaux deux à deux : $CB$ qui est commun aux deux triangles, et $AC=BD$ par hypothèse. Ils ont aussi un angle commun comme nous venons de le voir avec (1). Dans cette configuration particulière de deux triangles, nous pouvons montrer que les troisièmes côtés sont égaux aussi (pour la démonstration de ce point, voir le problème Deux côtés, un angle : tout est fixé pour le triangle) , donc nous avons bien démontré le premier point : $\bf AB=CD$ .

Une autre conséquence de la configuration particulière de ces deux triangles $ABC$ et $BCD$ est que tous leurs angles sont égaux deux à deux (pour la démonstration de ce point, voir le problème Deux côtés, un angle : tout est fixé pour le triangle) , en particulier nous avons : $\bf \widehat {ABC}=\widehat {DCB}$ .

Or ces deux angles égaux sont alternes-internes par rapport aux droites $(AB)$ et $(CD)$ coupées par $(BC)$, ce qui induit que les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles (pour la démonstration de ce point, voir le problème Des angles alternes aux parallèles), ce qui constitue le deuxième point à démontrer.