Deux triangles, deux côtés égaux... et si le troisième diffère ?

Soient deux triangles $ABC$ et $DEF$ dont deux côtés sont égaux deux à deux $AB=DE$ et $AC=DF$ , et pour lesquels le troisième côté du triangle $ABC$ est de longueur supérieure au troisième côté du triangle $DEF$ .

Montrer que, dans ces conditions, l’angle $\widehat {BAC}$ contenu entre les deux côtés $AB$ et $AC$ du triangle $ABC$ a une mesure supérieure à l’angle $\widehat {EDF}$ contenu entre les deux côtés $DE$ et $DF$ du triangle $DEF$ .

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Euclide — Éléments

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Livre 1 - Proposition 25

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Solution by goldfinch

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Pour montrer que , l’angle $\widehat {BAC}$ a une mesure supérieure à l’angle $\widehat {EDF}$ , montrons que les deux situations $\widehat {BAC}=\widehat {EDF}$ et $\widehat {BAC}<\widehat {EDF}$ sont impossibles.

Supposons vraie l’égalité $\bf \widehat {BAC}=\widehat {DEF}$ .

Nous pouvons montrer que lorsque deux triangles ont deux côtés égaux deux à deux, et que les angles entre ces deux côtés sont égaux aussi, alors les troisièmes côtés seront de longueur égale (pour démontrer ce point voir le problème Deux côtés avec leur angle suffisent-ils pour le triangle ?); ceci est contraire à l’énoncé .

Supposons vraie l’inégalité $\bf \widehat {BAC}<\widehat {DEF}$ .

Nous pouvons montrer que si deux triangles ont deux côtés égaux deux à deux et que la mesure de l’angle entre les deux côtés du premier triangle est inférieure à celle de l’angle entre les deux côtés respectifs du deuxième triangle, alors le troisième côté du premier triangle a une longueur inférieure au troisième côté du second triangle (pour la démonstration de ce point, voir le problème Deux triangles, deux côtés égaux… que change l’angle ?) ; ceci est contraire à l’énoncé.

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