Dimension des extensions de corps

1. Pour montrer que $L$ est un $K$-espace vectoriel, il suffit de vérifier que l’addition usuelle de $L$ et la multiplication des éléments de $L$ par ceux de $K$ vérifient les axiomes d'espace vectoriel.

• $(L, +)$ est un groupe abélien car $L$ est un corps.
• La loi externe est simplement la multiplication du corps $L$, restreinte à $K \times L$. Puisque $K \subset L$, cette opération est bien définie à valeurs dans $L$.
• Les axiomes de la loi externe (distributivité par rapport à l’addition des scalaires et des vecteurs, associativité, et existence du neutre $1_K \cdot x = x$) découlent tous directement de la distributivité, de l’associativité de la multiplication et de l’existence du neutre multiplicatif dans le corps $L$.
  Ainsi, $L$ est bien un $K$-espace vectoriel.

2.
$\hookrightarrow$ Par définition, $e_i \in M$ et $f_j \in L$. Comme $L \subset M$, on a $f_j \in M$. La multiplication $e_i f_j$ est donc bien définie car c’est simplement la multiplication dans le corps $M$.

$\hookrightarrow$ Caractère générateur : Soit $x \in M$. Puisque $(e_i)_{1 \leqslant i \leqslant p}$ est une base de $M$ sur $L$, il existe des scalaires $\lambda_1, \dots, \lambda_p \in L$ tels que :
$$x = \sum_{i=1}^p \lambda_i e_i$$Or, pour chaque $i$, $\lambda_i \in L$. Puisque $(f_j)_{1 \leqslant j \leqslant q}$ est une base de $L$ sur $K$, il existe des scalaires $\alpha_{i,1}, \dots, \alpha_{i,q} \in K$ tels que :
$$\lambda_i = \sum_{j=1}^q \alpha_{i,j} f_j$$En substituant dans la première expression, on obtient par distributivité dans $M$ :
$$x = \sum_{i=1}^p \left( \sum_{j=1}^q \alpha_{i,j} f_j \right) e_i = \sum_{i=1}^p \sum_{j=1}^q \alpha_{i,j} (e_i f_j)$$La famille $(e_i f_j)_{i,j}$ engendre donc $M$ en tant que $K$-espace vectoriel.

$\hookrightarrow$ Liberté : Supposons qu’il existe des scalaires $\alpha_{i,j} \in K$ tels que :
$$\sum_{i=1}^p \sum_{j=1}^q \alpha_{i,j} (e_i f_j) = 0$$En factorisant par $e_i$, on peut réécrire cette somme :
$$\sum_{i=1}^p \underbrace{\left( \sum_{j=1}^q \alpha_{i,j} f_j \right)}_{\in L} e_i = 0$$Puisque la famille $(e_i)_{1 \leqslant i \leqslant p}$ est libre sur $L$, tous ses coefficients dans $L$ sont nuls. Pour tout $i \in [\![1,p]\!]$, on a donc :
$$\sum_{j=1}^q \alpha_{i,j} f_j = 0$$Maintenant, puisque la famille $(f_j)_{1 \leqslant j \leqslant q}$ est libre sur $K$ et que les $\mu_{i,j}$ sont dans $K$, on en déduit que pour tout $i$ et tout $j$, $\alpha_{i,j} = 0$.
La famille $(e_i f_j)_{i,j}$ est donc libre.

Étant libre et génératrice, c’est une base de $M$ sur $K$.

3. D’après la question précédente, si on a une base de $M$ sur $L$ de $p := [M:L]$ éléments et une base de $L$ sur $K$ de $q := [L:K]$ éléments, on peut construire une base de $M$ sur $K$ formée de $p \times q$ éléments (les $e_i f_j$ pour $i \in [\![1,p]\!]$ et $j \in [\![1,q]\!]$).
La dimension de $M$ en tant que $K$-espace vectoriel est donc exactement $p \times q$, ce qui donne bien :
$$[M:K] = [M:L] \cdot [L:K]$$